Manuel Pérez Cagigal Grupo de Optica. Universidad de Cantabria ESPAÑA Modelo de formación de imágenes a través de pantallas de fase compensadas El texto está en inglés en consideración a Foy. El primer paso debe ser explicar brevemente qué es un sistema de óptica adaptativa. Manuel Pérez Cagigal Grupo de Optica. Universidad de Cantabria ESPAÑA

La resolución astronómica en un telescopio está limitada por :  Errores de diseño y manufactura  Límite difraccional  Distorsiones introducidas por la atmósfera La resolución en los telescopios astronómicos se ve limitada por diversos factores. El primero son las imperfecciones en los elementos ópticos del sistema. Se eliminan mejorando el diseño y el proceso de fabricación, asíque no se consideran. El límite difraccional es inamovible. Un tercer factor son las distorsiones que introduce la atmósfera. ¿Por qué distorsiona la atmósfera los frentes de onda?

Frente de onda compensado Sistemas de OA Frente de onda plano Atmósfera Frente de onda distorsionado Espejo deformable Frente de onda compensado Sistema de detección La luz solar calienta la superficie terrestre. El proceso de intercambio de calor con la atmósfera crea en ésta movimientos del aire a diferentes escalas en régimen turbulento, lo que produce inhomogeneidades de la densidad del aire y de la concentración de vapor de agua, en definitiva, inhomogeneidades en el índice de refracción. Al encontrar zonas con distinto índice de refracción los frentes de onda que atraviesan la atmósfera se distorsionan. El principal problema de estas distorsiones es que varían con el tiempo (10 ms). Si no fuera así se podrían corregir con elementos estáticos (gafas). Los sistemas de óptica corrigen a tiempo real las distorsiones introducidas por la atmósfera. Sensor de frente de onda

Ejemplos Distorsión atmosférica LARGA EXPOSICION CORTA EXPOSICION Compensación parcial EFECTO DE LA COMPENSACIÓN EN LA IMAGEN La corrección nunca es perfecta en el visible.

EFECTO DE LA COMPENSACION

OBJETIVOS: Descripción de la pantalla de fase distorsionada y compensada Modelo de proceso de formación de imágenes El objetivo principal del trabajo es la descripción del proceso físico de formación de la imagen en un telescopio dotado de un sistema de óptica adaptativa para corregir las perturbaciones de la atmósfera. En especial, es interesante obtener la estadística en la imagen.

Modelo de pantalla de fase - Estadística de fase - Función de estructura - Longitud de correlación - Parámetro Generalizado de Fried Caso estándar Comentar el esquema y que todo está relacionado. APLICACIONES I - Caso no-Gauss. - Efecto en isopl. APLICACIONES II - Calibrado de sistemas - Detección exoplanetas APLICACIONES III - Ojo humano

MODELO DE ATMOSFERA ATMOSFERA = PANTALLA DE FASE Parámetro de Fried Ddiámetro del telescopio Parámetro de Fried El r0, o parámetro de Fried, describe el estado de la atmósfera: si es grande, el estado es bueno, si es pequeño, malo. Además de describir el tamaño de las celdas en la atmósfera, determina la resolución o anchura de la PSF.

FRENTE DE ONDA CORREGIDO ATMOSFERA+ COMPENSACION = PANTALLA FASE Parámetro de Fried generalizado r0 El modelo supone que el efecto de atmósfera y compensación se puede asociar a una única pantalla de fase, sise cumplen las siguientes condiciones: D diámetro del telescopio

MODELO DE PANTALLA DE FASE 1 - Las fases en cada punto es independiente de las de otros puntos 2 - La fase en cada punto sigue una distribución Gaussiana con una varianza igual a la varianza media sobre el frente de onda: Dj. 1 - La fase que introduce cada celda es independiente de las del resto, y 2 - su función densidad de probabilidad es una gaussiana con varianza igual a la varianza promedio sobre el frente de onda Dj. De la funcón densidad se obtiene la función característica sin más que realizar la TF. TF

ESTADISTICA DE LA FASE La función densidad de probabilidad de la fase es gaussiana según la segunda de las condiciones. Sin corrección la fase se distribuye uniformemente entro -pi y pi (línea roja). A medida que se aumenta el grado de corrección, se consigue un frente de onda más parecido al frente de onda plano original, por lo que la distribución de fases se estrecha.

Descomposición en polinomios de Zernike : VARIANZA DE LA FASE Descomposición en polinomios de Zernike : La anchura de estas gaussianas se puede hallar con facilidad. El frente de onda suele descomponerse en la base de los polinomios de Zernike. Existe una expresión analítica de la varianza residual en el frente de onda (la anchura de la gaussiana) en función del número j de polinomios corregidos.

FUNCION DE ESTRUCTURA (r/r0)5/3 (r/r0)5/3 2Dj 2Dj´ lc´ lc Una función muy importante es la función de estructura, porque define por completo la estadística de las fase en el plano objeto. En la gráfica se muestra la función de estructura para dos diferentes niveles de corrección, en las mismas condiciones de atmósfera, telescopio... Se pueden apreciar dos características fudamentales: la función de estructura satura a partir de la longitud de correlación al doble de la varianza residual. Para distancias menores que la longitud de correlación la curva sigue un comportamiento (r/r0)5/3 similar a la función de estructura sin corrección.

lc no depende de las condiciones atmosféricas LONGITUD DE CORRELACION lc no depende de las condiciones atmosféricas lc = 0.286 j-0.362 D La longitud de correlación, no depende de las condiciones de la atmósfera, sólo depende del número de modos corregidos. Por tanto, se puede realizar un ajuste que proporciona la longoitud de correlación en función del grado de corrección.

PARAMETRO GENERALIZADO DE FRIED De la función de estructura se puede obtener una relación entre lcorr, deltaj y ro0. Como los dos primeros se pueden obtener deldiámetro del telescopio, nº de modos corregidos y estado de la atmósfera, ro0 se puede obtener teóricamente despejando en función de tales magnitudes. En la figura se muestra su evolución con la corrección.

Igual a r0 pero en compensación parcial: PARAMETERO GENERALIZADO DE FRIED Igual a r0 pero en compensación parcial: - Función de estructura - Tamaño de celda en F.O. - Tamaño del halo en PSF El parámetro generalizado de Fried se comporta como el parámetro de Fried en el caso de corrección parcial: da el tamaño y número de las celdas coherentes en el frente de onda, describe la primera parte de la función de estructra y como se verá el tamaño del halo.

Modelo aproximado de la función de estructura: Df APROXIMADA Modelo aproximado de la función de estructura: 2Dj lc (r/r0)5/3 Dado el comportamiento de la f de estructura se puede obtener una f de estructura aproximada a priori a partir de los parámetros antes mencionados.

Modelo de pantalla de fase - Estadística de fase - Función de estructura - Longitud de correlación - Parámetro Generalizado de Fried Caso estándar Ahora se ve la segunda parte, muy relacionada con la primera. 1.- P(I) 6.- PSF 2.- P(n) 7.- Ganancia 3.- SR 8.- Simulación 4.- SNR 9.- Experimento 5.- Dj

FORMACION DE IMÁGENES Amplitud del C.E.: suma de un gran número de contribuciones elementales. Plano imagen Frente de onda En el modelo descrito, la amplitud del campo eléctrico en el plano imagen es la suma de las contribuciones de las celdas en el frente de onda. En el punto central del plano imagen se puede expresar como:

PROBABILIDAD CONJUNTA de Ar y Ai Aplicando el teorema del límite central: Por el teorema del límite central, la estadística de Ar y Ai es gaussiana; se requieren tres parámetros para obtener esta PDF, que se pueden obtener de la estadística de la fase. Donde:

MODELO DE PANTALLA DE FASE 1 - Las fases en cada punto es independiente de las de otros puntos 2 - La fase en cada punto sigue una distribución Gaussiana con una varianza igual a la varianza media sobre el frente de onda: Dj. Se aprecia el modelo de pantalla de fase en el que se ofrece la función característica. TF

INCONVENIENTE: P(I) se obtiene de una integración numérica 1. PDF DE LA INTENSIDAD De p(Ar,Ai) : Realizando un cambio de variable e integrando se obtiene una expresión de la P(I), a partir del número de contribuciones N y de la función característica de la fase corregida, que sólo depende de la varianza residual. INCONVENIENTE: P(I) se obtiene de una integración numérica (Speckle statistics in partially corrected wavefronts. Cagigal, Canales. OL 1998)

Camino aleatorio + fasor const. Rician P(I) En compensación parcial: Ai Ar <Ar> S Ar Ai El principal inconveniente de esta P(I) es que se necesita realizar una integración numérica lo que dificulta la comprensión de su comportamiento al variar las condiciones atmosféricas, el grado de corrección, etc. Sin embargo se puede utilizar la analogía física entre el caso de corrección parcial y otro cuya P(I) es conocida. Como se ve en la figura la suma de las diferentes contribuciones recuerda al caso de un camino aleatorio más un fasor constante (holografía p.ej.), con P(I) de tipo Rice.

Se igualan medias y varianzas DISTRIBUCION DE RICE Aproximación de P(I): La P(I) se aproxima por la distribución de Rice.Para obtener sus parámetros se igualan el valor medio y la varaianza de la I y se despejan los parámetros de la Rician en f de los de la distribución exacta, es decir, en función de la deltaj y el parametro generalizado de Fried. Se igualan medias y varianzas (Rician distribution to describe spec kle statistics in adaptive optics. Canales, Cagigal. AO 1999)

Los parámetros se pueden aproximar por: PARAMETROS APROXIMADOS Los parámetros se pueden aproximar por: 2s2: energía en el halo a2: energía coherente Los parámetros de la distrib de Rice se pueden aproximar por las siguientes expresiones, donde se aprecia que uno representa la energía en el halo y el otro la energía coherente.

Del teorema de desplazamiento: EXTENSION AL PLANO COMPLETO P(x,y) Del teorema de desplazamiento: Hasta ahora todo era para el punto central del plano imagen. La extensión a todo el plano es muy sencilla. Utilizando el teorema de desplazamiento se calcula la varianza residual para un punto (x,y) y de ella se obtienen los parámetros de la distribución.

La distribución de fotones es la transformada de Poissón de P(I): 2. DISTRIBUCION DE FOTONES La distribución de fotones es la transformada de Poissón de P(I): La distribución de fotones es la transformada de Poisson de la distrib de intensidad. La tranf de Poisson de una f de Rice es una distr de Laguerre. En el caso de baja correcciónse puede encontrar una aprox analítica de esta distribución. (Photon statistics in compensated wavefronts. Canales, Cagigal. JOSA 1999)

3. COCIENTE DE STREHL, SR El cociente de Strehl se puede derivar en función de parámetros conocidos: De esta teoría se puede obtener mucha información. Es muy interesante deducir el valor del cociente de Strehl. Se puede hacer directamente a partir de los parámetros de la distribución exacta, o a partir del análisis del halo.

SR DESDE EL HALO El radio del halo se define como: RHALO Desde el halo del PSF halo: Se define como radio del halo el radio del cilindro que encierra la misma energía que el halo (en el dibujo en 2 dim). Como ro0 (por analogía con r0) maca el tamaño del halo, y a partir del análisis de la PSF se puede obtener SR.

Comparando ambas expresiones del SR: COMPARACION ENTRE SR Comparando ambas expresiones del SR: Baja compensación Alta compensación 2. SR (r0/D)2 exp(-Dj) 1. Número de celdas r0 = diámetro de la celda Se comprueba que r0 relaciona el tamaño del halo y el de las celdas coherentes en el frente de onda corregido. Por otra parte se pueden obtener aproximaciones para el SR en los límites de alta y baja corrección, que concuerdan bien con los predichos por otros modelos.

4. SNR Uno de los aspectos más interesantes es conocer el cociente señal ruido. Su principal característica es que no es cte en el plano imagen. Al corregir, el SNR crece en el centro de la imagen, pero decrece hacia los bordes hasta alcanzar en el halo el típico valor unidad que caracteriza al speckle.

5. VARIANZA RESIDUAL DE LA FASE Desde la función de estructura y el modelo de imagen: (Residual phase variance in partial correction. Canales, Cagigal.JOSA 2000)

ESTIMACION DE LA V.R.F. Sustituyendo la long. de correlación: Para baja compensación:

Modelo aproximado de la PSF: 6. PSF APROXIMADA Modelo aproximado de la PSF:

7. GANANCIA Ganancia del sistema : G = Ic /I halo La intensidad media en el halo es: La intensidad en el pico coherente es: (Gain estimates for exoplanet detection with adaptative optics. Canales, Cagigal A&A 2000)

GANANCIA

8. SIMULACION POR COMPUTADOR Simulamos pantallas de fase compensadas siguiendo el procedimiento de N. Roddier. Cumple la estadística de la atmósfera Fácil de introducir la compensación Calculo rápido La simulación es útil por dos razones. En primer lugar, permite un análisis completo y sencillo de las predicciones de la teoría en cualesquiera condiciones. Además, existen ciertas funciones cuyo calculo anlítico es imposible, y la simulación permite estimar su valor.

ESTADISTICA DE INTENSIDAD ESTADÍSTICA DE LA FASE ESTADISTICA DE INTENSIDAD SNR A continuación se muestran algunos valores obtenidos por simulación y se comparan con las predicciones realizadas en nuestro modelo. En primer lugar se comprueba que la estadística de la fase tras la corrección es una gaussiana cuya var se vio en la diapo anterior que coincidía con la teórica. Como también ocurría con la f de estructura se puede concluir que la estadística de la fase coincide con la presentada.

ESTADISTICA DE FOTONES ANALISIS DE LA PSF Por fin, se muestra la estadística de fotones. La distribución se ajusta perfectamente a la de Laguerre, obtenida como la transformada de Poisson de la distribución de la intensidad luminosa. Hasta ahora todo se había referido al punto central y se variaba el grado de correcc. En esta gráfica se varía el punto del plano imagen para un grado de corrección fijo. La evolución de la curva es similar: en el centro la distrib es de tipo gaussiano y hacia los bordes es la propia del speckle .

9. EXPERIMENTO F. de O. CORREGIDO PC1 PROYECTOR P1 LCD2 P2 CCD Laser Todo funciona de forma que al telescopio llega un frente de onda distorsionado por la atmósfera y parcialmente corregido. P1 LCD2 P2 CCD Laser

IMAGENES Ejemplo de imágenes parcialmente corregidas.

ESTADISTICA DE LA INTENSIDAD La distribución sigue siendo Rician y como se aprecia si se usa la Dj correcta sepuede ajustar la distrib con precisión

Modelo de pantalla de fase - Estadística de fase - Función de estructura - Longitud de correlación - Parámetro Generalizado de Fried Caso estándar Se estudian ahora brevemente dos aplicaciones de la teoría anterior. En primer lugar se verá un método de obtener la var residual real en el caso de un sistema afectado por ruido. Este cálculo puede ser útil para calibrar el sistema y para aplicar la teoría anterior en el caso de sistemas reales. La segunda aplicación se relaciona con la detección de fuentes débiles en fondos muy ruidosos, como el caso de los exoplanetas. APLICACIONES I - Est. no-Gaussiana - Efecto en isopl. APLICACIONES II - Calibrado de sistemas - Detección exoplanetas APLICACIONES III - Ojo humano

(Non-Gaussian statistics in compensated systems. OL. 2001) I.1 ESTADISTICA NO-GAUSSIANA Número de celdas= (D / r0)2 Parámetro de Fried generalizado r0 D diámetro del telescopio (Non-Gaussian statistics in compensated systems. OL. 2001)

ESTADISTICA NO-GAUSSIANA La función característica de N celdas es: La distribución de probabilidad del c.e.:

ESTADISTICA NO-GAUSSIANA

I.2. AREA ISOPLANATICA  h Pupila Telescopio Sin compensación: Con compensación:

Dependencia del número de polinomios corregidos: AREA ISOPLANATICA Dependencia del número de polinomios corregidos:

Modelo de pantalla de fase - Estadística de fase - Función de estructura - Longitud de correlación - Parámetro Generalizado de Fried Caso estándar APLICACIONES I - Est. no-Gaussiana - Efecto en isopl. APLICACIONES II - Calibrado de sistemas - Detección exoplanetas APLICACIONES III - Ojo humano

II.1. VARIANZA RESIDUAL DE LA FASE Fuentes de error: - Resolución finita: espacial y temporal - Ruido de fotones - Anisoplanatismo - Scintillation - Retraso entre sensado y compensación Valor instantáneo de Dj es útil para: A. Calibrar el sistema B. Estadística instantánea de fotones C. PSF instantáneas

A. ESTIMACION DE LA V.R.F B. ESTADISTICA INTENSIDAD C. PSF INSTANTANEAS Aquí se observa como coinciden la varres simulada y la teórica. La aprox de baja correc no funciona para altos grados donde sí lo hace la aprox de MArechal

II.2. DETECCION DE EXOPLANETAS Desviaciones de: - P(n) -Transformada de Fourier o Laplace de P(n) - n(2), g(2)...

GANANCIA

INTERFEROMETRO DE NULO

INTERFEROMETRO DE NULO

Modelo de pantalla de fase - Estadística de fase - Función de estructura - Longitud de correlación - Parámetro Generalizado de Fried Caso estándar APLICACIONES I - Est. no-Gaussiana - Efecto en isopl. APLICACIONES II - Calibrado de sistemas - Detección exoplanetas APLICACIONES III - Ojo humano

DISTRIBUCION DE FASE

FUNCION DE ESTRUCTURA

PARAMETROS CARACTERISTICOS PARAMETRO GENERALIZADO DE FRIED PARAMETROS CARACTERISTICOS LONGITUD DE CORRELACION

MODELO DE F. DE ESTRUCTURA

PSF MODELO-EXPERIMENTAL

Modelo de pantalla de fase - Estadística de fase - Función de estructura - Longitud de correlación - Parámetro Generalizado de Fried Caso estándar APLICACIONES I - Est. no-Gauss. - Efecto en isopl. APLICACIONES II - Calibrado de sistemas - Detección exoplanetas APLICACIONES III - Ojo humano