4. PROPIEDADES LOCALES DE FUNCIONES DERIVABLES Depto. Matemáticas – IES Elaios Tema: Análisis de Funciones 4. PROPIEDADES LOCALES DE FUNCIONES DERIVABLES Presentación elaborada por el profesor José Mª Sorando, ampliando y adaptando el texto de la Editorial SM

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Sea y = f(x) una función continua cuya gráfica es la de la figura. f es creciente en a, b, c. f es decreciente en e, g, h. f presenta máximos relativos en d, j. f presenta mínimos relativos en i, k.

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Definiciones

Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos.

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Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Resultados o propiedades que utilizaremos:

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Sea f(x) derivable en (a , b) Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Reglas prácticas: α α x x [ a ] b [ a ] b Sea f(x) derivable en (a , b) Si f’(x) > 0 para todo x en (a , b), entonces f(x) es creciente en (a , b) Si f’(x) < 0 para todo x en (a , b), entonces f(x) es decreciente en (a , b) Si f’(x) = 0 para todo x en (a , b), entonces f(x) es constante en (a , b)

Sea f(x) derivable en (a , b) Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Reglas prácticas: Sea f(x) derivable en (a , b) Si f’(c) = 0 , entonces en x = c hay un punto crítico, que puede ser o no un extremo relativo (máximo o mínimo). Por ejemplo: en la gráfica hay puntos críticos en b, d, e, i pero de ellos sólo hay extremos relativos en d, i

- Criterio de la derivada primera: Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Reglas prácticas: Sea f(x) derivable en (a , b). Una vez localizados los puntos críticos x = c donde f’(c) = 0, se estudian los posibles extremos relativos por uno de estos dos métodos. - Criterio de la derivada primera: Si f’(x) cambia de signo en x = c, hay un extremo relativo si pasa de + a - , la función pasa de creciente a decreciente, hay máximo (razonamiento análogo para mínimo) - Criterio de la derivada segunda: Si f”(c) > 0 , hay mínimo (porque entonces f’(x) es creciente en c, pasará de – a +; luego f(x) cambiará de decreciente a creciente) Si f”(c) < 0 , hay máximo (razonamiento análogo) f '(c) = 0 f '(c) = 0

Curvatura: concavidad hacia Y+ Cuando la curva está por encima de la tangente, se dice que es cóncava hacia Y+ [ a ] b [ a ] b a1 a1 a2 x1 x2 a2 x1 x2 tg α1 < tg α 2  f '(x1) < f '(x2) Las pendientes de las tangentes aumentan, f ' es creciente f " > 0  función cóncava hacia Y+

Curvatura: concavidad hacia Y- f " < 0  función cóncava hacia Y- Cuando la curva está por debajo de la tangente, se dice que es cóncava hacia Y- [ a ] b [ a ] b α1 α2 α1 α2 x1 x2 x1 x2 tg α1 > tg α2  f '(x1) > f '(x2) Las pendientes de las tangentes disminuyen, f ' es decreciente f " < 0  función cóncava hacia Y-

en este caso, como f” decrece, f’’’ < 0 Puntos de inflexión Cuando la curva en un punto cambia de posición respecto a la tangente, es decir cambia el sentido de la concavidad, se dice que tiene un punto de inflexión en ese punto. f" < 0 P(a, f(a)) f" > 0 f"(a) = 0 en este caso, como f” decrece, f’’’ < 0 Si f”(a) = 0 y además f’’’ (a) ≠ 0  hay un punto de inflexión en x = a