Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos

Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos

Solución transporte conservativo (1) Discretización especial (2D) Diferencias finitas Ecuación de transporte para nudo i,j x j + 1 y j j - 1 i - 1 i i + 1

Solución transporte conservativo (2) Elementos Finitos Se basa en interpolación entre nudos Se especifica coordinadas de nudos y los nudos de cada elementos Se pueden mezclar tipos de elementos Valor (c) Nudo Elemento Segmento 1D Segmento Triángulo Cuadrilátero Triángulo Cuadrilátero Tetraedro Prisma Malla 2D de EF

Solución transporte conservativo (3) Para todos los nudos y en notación de matriz: Discretización temporal por DF Resolver ck+1 mediante: Vector de concentraciones para cada nudo Matriz para adv./dif./disp. Vector de fuentes/sumideros Matriz diagonal de almacenamiento Factor de ponderación temporal (entre 0 y 1)

Resolver sistema lineal Métodos directos Descomposición en LU Dos partes Descomposición: ‘prepara’ matriz A Solución: calcula x La descomposición es más costosa que la solución Si cambia b pero no cambia A, se puede aprovechar la descomposición Es un método robusto

Resolver sistema lineal (2) Métodos iterativos Ejemplos: Gradientes Conjugados, GMRES Empiezan con una solución inicial, que se mejora cada iteración Pueden tener problemas de convergencia Requieren una solución inicial y criterios de convergencia, p.e. Son mejores para mallas de 2D y 3D con muchos nudos

Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos

Solución de las ec. de transporte reactivo Problema Muchas ecuaciones/incógnitas: número de nudos  número de componentes En general, ecuaciones muy no lineales Para problemas no lineales hay dos métodos de resolución Picard (en transporte reactivo también llamado: SIA (Sequential Iteration Approach), Two-step) Newton Raphson (en transporte reactivo también llamado: DSA (Direct Substitution Approach), One-step, Global Implicit)

Escribimos ecuación como Picard, principio Escribimos ecuación como Resolvemos iterativamente xi+1 un sistema lineal hasta que converja: Para 1 incógnita i = número de iteración b(x) A(x1)x A(x2)x A(x)x x1 x2 x3

Criterios de convergencia Error absoluto de la incógnita Error relativo de la incógnita Error de la ecuación

Dos incógnitas (x1 x2) y dos ecuaciones Picard, ejemplo Dos incógnitas (x1 x2) y dos ecuaciones Iter. 1 2 .. 8 x 0.00 0.50 0.22 0.67 0.65 b 1.00 0.86 2.00 A 3.00 0.75 0.27 Ax-b -1.00 0.78 -2.00 0.38

Picard, divergencia En lugar de converger (cada vez más cerca de la solución), puede divergir (cada vez más lejos de la solución) Se puede solucionar refinando la descretización (disminuyendo x o sobre todo t) x1 x2 x3 b(x) A(x)x

Newton-Raphson, principio Escribimos ecuación como Resolvemos iterativamente xi+1 mediante un sistema lineal hasta que converja: Para 1 incógnita Jacabiano Residuo f J0 J1 x3 x2 x1 x0

Newton Raphson, ejemplo Iter. 1 2 .. 5 x 0.00 0.50 0.22 0.67 0.65 -f 1.00 -0.78 2.00 -0.38 J 2.67 1.83 2.65 1.51 3.00 1.75 0.58 xi+1-xi -0.34 0.08

Newton-Raphson, divergencia También Newton-Raphson puede divergir También se puede solucionar refinando descretización f x0 x1 x2

Pseudo Newton-Raphson No (siempre) se actualiza el jacobiano Requiere más iteraciones, pero se ahorra tiempo de cálculo en el ensamblaje del jacobiano f J0 x3 x2 x1 x0

Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos

Si hay expresión explícita para química Nc ecuaciones y Nc incógnitas (c1) Newton-Raphson 1: Se sabe la con-centración total (ua) 2: Se sabe la con-centración (cprescrita) 1: 2:

Ejemplo Primarias: H+, CO3-2 Secundarias: HCO3-, CO2, OH- Carbono total = 10-3, pH =7

Si no hay expresión explícita para química Ecuaciones químicas ¿Cómo calcular ca2 y ca2/c1? O, montar Newton-Raphson con Ns incógnitas (c) y ecuaciones (componentes y químicas) O, calcular ca2 y ca2/c1 iterativamente (i+1 = (ci)) Se itera Después de la última iteración Regla de la cadena

Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos

Picard, aplicación a transporte reactivo Escribimos ec. de transporte reactivo como: Primer paso: transporte Se puede resolver para cada componente por separado Ecuación discretizada Términos lineales Términos no lineales = vector de conc. acuosas de componente c para todos los nudos

Picard, aplicación a transporte reactivo (2) Segundo paso: química Cálculo de bi+1 a partir de uai+1 para cada nudo por separado Resolver c1 (Nc) y cm (Nm) aplicando Newton-Raphson (pequeño) Calcular bi+1 a partir de c1 y cm Nc Nm

Detalles ecuaciones químicas Ec. de transporte tratada como ec. química Para componentes inmóviles, p.e. [XNa] + 2[X2Ca] = CEC

Ejemplo Reacciones en equilibrio Componentes: R1: CO32- = HCO3- - H+ R2: X2Ca = 2XNa + Ca2+ - 2Na+ R3: H2O = H+ + OH- R4: CaCO3(s) = Ca2+ + CO32- Componentes: Ca2+, HCO3-, Na+, XNa (CEC), H+, OH- Tratar como ecuación 'química'

Ejemplo, paso de transporte Resolver las concentraciones acuosas

Ejemplo, paso químico Resolver Ca2+, HCO3-, Na+, H+, OH-, XNa, CaCO3

Utilizar u en lugar de ua como variable Picard, variantes Utilizar u en lugar de ua como variable Paso de transporte Paso químico SNIA (Sequential Non Iterative Approach) Lo mismo que SIA pero sin iterar

Paso de transporte: utilizar el valor del tiempo anterior Valores iniciales Paso de transporte: utilizar el valor del tiempo anterior Paso químico: utilizar el valor de la iteración de transporte anterior i = iteración de transporte j = iteración química

Picard y eliminación de minerales La presencia de minerales puede depender del espacio  E y EU dependen del espacio Se pierde la ventaja de calcular el paso de transporte para cada componente por separado La eliminación de minerales sólo se puede incorporar a Picard, si la presencia de minerales no depende del espacio.

Newton-Raphson, aplicación a trans. react. Escribimos ecuación de transp. react. como Hace falta Discretizar Jacobiano Si las conc. secundarias se escriben explícitamente en función de las primarias, p.e. se pueden escribir las ec. de transporte en función de conc. primarias

Newton-Raphson, sustitución ec. químicas Si ecuaciones químicas no son explícitas Aplicar Newton-Raphson a ecuación de transporte Newton-Raphson pequeño para química (Nc-Np) ecuaciones de transporte (Nr) ecuaciones químicas Se itera Después de la última iteración

Valores iniciales Para el valor inicial utilizar el valor del tiempo anterior

Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Contenido Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales Resolver sistemas no lineales Teoría Aplicación de Newton-Raphson a especiación Aplicación de Picard y Newton-Raphson a transporte reactivo Comparación entre dos métodos

Comparación teórica Picard, SIA Newton-Raphson, DSA Resuelve transporte y química por separado Resuelve transporte y química simultáneamente Requiere menos memoria de ordenador Requiere más memoria de ordenador Más fácil de programar Más difícil de programar Se usa mucho Se usa poco Convergencia lineal Convergencia cuadrática Más rígido Más robusto

Comparación mediante ejemplos Metodología Calcular ejemplos mediante los dos métodos Usar gestión automática de t Comparar número de incrementos de tiempo, número de iteraciones y tiempo de CPU

Ejemplo CAL Disolución de CALcita 3 componentes 7 acuosas 1 mineral 21 nudos 1.0 volumen poros lavados

Ejemplo WAD Intercambio iónico en el ‘WADdenzee’ 6 componentes 9 acuosas 3 adsorbidas 1 mineral 21 nudos 37.5 vol.por.lav.

Ejemplo DEDO DEDOlimitación cerca de una fractura 7 componentes 15 acuosas 2 mineral 225 nudos 22 705 vol.por.lav.

Ejemplo OSA Meteorización en una mina de Uranio de OSAmu Utsumi (Poços de Caldas, Brasil) 13 componentes 42 acuosas 8 mineral 101 nudos 40 000 vol.por.lav.

Resultados

¿Qué pasa con mallas finas y de más dimensiones? Influencia malla ¿Qué pasa con mallas finas y de más dimensiones? Cambiar las mallas 1D en 2D Variar el número de nudos

Resultados