Funciones y sus Gráficas.

FUNCIÓN El concepto de función es esencial en la teoría matemática y en las ciencias y disciplinas que se nutren de ella. Por lo general en todo estudio que se refiera a la aplicación de las matemáticas a problemas prácticos o que se requiera del análisis empírico se emplea este concepto matemático.

FUNCIÓN Una función expresa la idea de que una cantidad depende o está determinada por otra, por ejemplo: El número de bacterias en un cultivo depende de la cantidad de alimento presente. El área del círculo depende de su radio. La utilidad de una empresa depende del número de artículos vendidos.

Definición de función. Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x de un conjunto llamado dominio un valor único f (x) de un segundo conjunto. El conjunto de valores así obtenidos se llama rango de la función.

Definición de función.

Definición de función. X f(x) Función

NOTACIÓN FUNCIONAL Se usa una sola letra como f o g o F para denominar una función. Entonces , f (x) que se lee “f de x ” o “ f en x” , designa el valor que f asinga a x.

Las funciones Reales: Definición: Se llama función real a toda función D R, siendo D un subconjunto de R.

Funciones Polinomiales: Def : una función f se llama función polinomial si F(x) = an xn +an – 1x n-1+…..+a1x +a0 Ejemplos: F(x) = 6x2 + 7x -2 F(x)= 2x +3 F(x) = 6

Función lineal. Definición : y = f (x) = m x + b es una función lineal. La gráfica de una función lineal es una recta donde: m = pendiente y b = intersección en el eje y. Dominio y recorrido de la función lineal, dom: R , Rec: R con m ≠ 0

Gráfica de una función lineal.

APLICACIÓN Ejemplo : El costo de x unidades de abono está formado por unos gastos fijos de $18.000 más el costo de producción de $3.000 por unidad. Expresar el costo total en función del número de unidades producidas.

APLICACIÓN Solución Sea C(x) el costo total al producir x unidades de abono. Se tiene que: Costo total = (costo por unidad)( número de unidades producidas) + gastos fijos Donde: Costo por unidad = $3,000 Número de unidades = x Gastos fijos = $18,000 Así, la función costo queda expresada por la función: C (x) = 3,000x + 18,000

Función cuadrática. Definición: una función polinomial de grado n = 2 f (x)= a2x2+ a1x + a0x La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Para trazar la gráfica e una función cuadrática es necesario conocer: Como abre la parábola (hacia arriba o hacia abajo), para ello basta con observar el signo del coeficiente de x2, si es positivo abre hacia arriba, en caso contrario abre hacia abajo.

Función cuadrática. Las coordenadas del vértice (el punto máximo o mínimo de la gráfica), se obtiene mediante las siguientes fórmulas: Coordenada en x, Vx = Coordenada en y, Vy = Cortes con el eje X, (si los hay), para ello se resuelve la ecuación f(x) = 0, esto es: ax2 + bx + c = 0 Ejemplo: Traza la gráfica de F(x) = x2 + 2x + 1

Gráfica de una función cuadrática.

Función exponencial. Definición: una función exponencial es una función de la forma : F( x) = a x donde a es una constante positiva ≠ 1

Gráfica de la función exponencial.

Función logarítmica. Se define la función logarítmica como la función inversa de la función exponencial. F(x) = loga x, esta es una función logarítmica con base “a”.

Gráfica de la función logarítmica.

FIN.

FUNCIÓN CONSTANTE. Una función constante es de la forma f(x) = k , donde k es una constante real; esta función asigna a cada “x” del dominio la misma imagen “k”. La gráfica de una función constante es una recta horizontal paralela al eje X y corta al eje Y en el punto k.

FUNCIÓN CONSTANTE Ejemplo : Representar en el plano cartesiano la función dada por la regla f(x) = 3