Problemas Resueltos de Derivadas Sucesivas y Concavidad

Problemas 1 Dada f(x) = xex demostrar por el método de inducción que f(n)(x) = (x + n)ex. 2 Hallar los puntos de inflexión, y los intervalos de concavidad y convexidad de f(x) = . Hacer un boceto de la gráfica de f(x). 3 Supongamos que f’’(x) > 0 para todo x. Demostrar que la gráfica de la función f permanece por encima de cualquiera de sus tangentes. 4 Suponiendo que f’’(x) < 0 para todo x demostrar que cualquier recta corta a la gráfica de f(x) como mucho dos veces. 5 Dado el polinomio P(x) = x4 + 4cx3 + 6x2 + x +1 demostrar que si |c| < 1, cualquier recta corta a la gráfica de P(x) como mucho en dos puntos. Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad

Derivadas e inducción Ejercicio 1 Dada f(x) = xex. Demostrar por el método de inducción: f(n)(x) = (x + n)ex. Solución 1 f(0)(x) = f(x) = xex = (x + 0)ex. Por lo tanto la fórmula se cumple para n=0. 2 Suponiendo que se cumple para un valor n: f(n) (x) = (x + n)ex. 3 Debemos demostrar que: f(n+1)(x) = (x+(n+1))ex. Por lo tanto: Utilizando la suposición (2). f(n+1) (x) = D(f(n) (x)) = D((x + n)ex) = (x + n)ex + ex = (x + (n + 1))ex Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad

Concavidad y Convexidad Ejercicio 2 Hallar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x) = Hacer un boceto aproximado de la gráfica de f(x). Solución Derivando, obtenemos: y Los puntos de inflexión son aquellos que para los que f’’(x) = 0: La dirección de concavidad cambia en los puntos de inflexión. Para determinar la concavidad (hacia arriba o hacia abajo)en los intervalos debemos estudiar el signo de la segunda derivada Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.

Concavidad hacia arriba y hacia abajo(2) Ejercicio 2 Hallar los puntos de inflexión y los intervalos de concavidad y convexidad de f(x) = . Hacer un boceto aproximado de la gráfica de f(x). Solución Derivando, obtenemos: es siempre positivo. Mientras que 4x2 – 2 es una parábola. Estudiamos el signo de f’’ 4x2 – 2 +++ – – – Conclusión: La gráfica de f(x) es cóncava hacia abajo en: En caso contrario , f(x) es cóncava hacia arriba. Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.

Caracterización de la concavidad Supongamos que f’’(x) > 0 para todo x. Demostrar que la gráfica de f(x) permanece por encima de cualquiera de sus rectas tangentes. Ejercicio 3 Solución Si f’’(x) > 0, significa que f’ es estrictamente creciente. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en un punto (c,f(c)) es: y – f(c) = f’(c)(x – c)  y = f’(c)x – f’(c)c + f(c). c x f(x) f’(c)x – f’(c)c + f(c) Para demostrar que la gráfica de f permanece por encima de sus rectas tangentes, debemos demostrar que: f(x) ≥ f’(c)x – f’(c)c + f(c) para todo x. Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.

Caracterización de la Concavidad (2) Supongamos que f’’(x) > 0 para todo x. Demostrar que la gráfica de f(x) permanece por encima de cualquiera de sus rectas tangentes. Ejercicio 3 Según lo que hemos visto la gráfica de f(x) permanece por encima de sus rectas tangentes si: f(x) ≥ f’(c)x – f’(c)c + f(c)  f(x) – f(c) ≥ f’(c) (x – c). Solución Supongamos que x > c. Según el Teorema del Valor Medio, existe un número d, c < d < x tal que f(x) – f(c) = f’(d) (x – c). Si la derivada es estrictamente creciente, f’(d) > f’( c). Por lo tanto f(x) – f(c) = f’(d) (x – c) ≥ f’(c) (x – c). Esto prueba que la gráfica de f(x) permanece por encima de sus rectas tangentes para los puntos cercanos al punto de tangencia. Lo mismo ocurre para x  c. Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.

Aplicaciones Geométricas Ejercicio 4 Supongamos que f’’(x) < 0 para todo x. Demostrar que cualquier recta corta a la gráfica de f(x) como mucho en dos puntos. Nota Por hipótesis, la gráfica de f(x) es cóncava hacia abajo. De la geometría de las gráficas, que son cóncavas hacia abajo, parece obvio que cualquier recta corta a dicha gráfica en como mucho dos puntos. Si la dirección de concavidad cambia, deben de haber más puntos de intersección. Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.

Aplicaciones Geométricas (2) Ejercicio 4 Supongamos que f’’(x) < 0 para todo x. Demostrar que cualquier recta corta a la gráfica de f(x) como mucho en dos puntos. Solución Es obvio que cualquier recta vertical corta a la gráfica como mucho en un punto. La ecuación de una recta no vertical es del tipo: y = ax + b. y = ax + b Las soluciones de la ecuación f(x) = ax + b proporcionan los puntos de intersección entre la recta y la gráfica de f. Tenemos por tanto: g(x) = f(x) – ax – b. Observar que f(x) = ax + b  g(x) = 0. Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.

Aplicaiones Geométricas (3) Supongamos que f’’(x) < 0 para todo x. Demostrar que cualquier recta corta a la gráfica de f(x) como mucho en dos puntos. Ejercicio 4 Posteriormente hay que observar que, para la función g(x) = f(x) – ax – b, g’’(x) = f’’(x). Solución Por hipótesis f’’(x)<0 para todo x. Por lo tanto g’’(x) < 0 para todo x. Si la función g toma el valor 0 en tres o más puntos, g’ tomará el valor 0 en dos o más puntos debido al Teorema de Rolle. Debido al Teorema de Rolle si, g’ toma el valor 0 en dos o mas puntos, g’’ debe tomar el valor 0. Esto es imposible si g’’(x) = f’’(x) < 0 para todo x. Por lo tanto cualquier recta y = ax + b corta a la gráfica de f(x) como mucho en dos puntos. Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad.

Aplicaciones Geométricas(4) Dado el polinomio P(x) = x4 + 4cx3 + 6x2 + x +1 demostrar que si |c| < 1, cualquier recta corta a la gráfica de P(x) como mucho en dos puntos. Ejercicio 5 Solución Si la recta y = ax + b corta a la gráfica del polinomio P, en por lo menos tres puntos distintos, el polinomio Q(x) = P(x) – ax – b tiene por lo menos tres soluciones. Si Q(x) tiene por lo menos tres soluciones, entonces, por el Teorema de Rolle, Q’(x) tiene por lo menos dos soluciones. Si Q’(x) tiene por lo menos dos soluciones, entonces, por el Teorema de Rolle, Q”(x) tiene por lo menos una solución. Derivando: Q(x) = x4+4cx3+6x2+(1-a)x+1-b, Q’(x) = 4x3 + 12cx2 +12x+ 1- a Y Q”(x) = 12x2 + 24cx+12. Q”(x) = 12((x – c)2 + 1 – c2). Si |c| < 1, Q”(x) > 0 para todo x. Por lo tanto el polinomio Q no puede tener más de dos raíces. Problemas resueltos de Aplicaciones de la derivada /Derivadas de orden superior y concavidad

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä