Unidad 4: espacio vectorial 2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología BC2A – BC2B Curso 2012-2013 Unidad 4: espacio vectorial

ÍNDICE Introducción: los conjuntos R2 y R3 Espacio vectorial Vectores libres del espacio tridimensional Producto escalar de dos vectores Producto vectorial de dos vectores Producto mixto de tres vectores

Introducción: los conjuntos R2 y R3 El conjunto R2 El conjunto R3 Operaciones externas e internas

1.a – El conjunto R2 El conjunto de pares ordenados respecto a las operaciones: Suma de pares Producto de un número por un par Cumple las siguientes propiedades:

1.b – El conjunto R3 El conjunto de ternas ordenadas respecto a las operaciones: Suma de ternas Producto por un número Cumple también las mismas propiedades anteriores: Suma de ternas: Asociativa Conmutativa Elemento neutro Elemento opuesto Producto por números: Distributiva respecto a la suma de números Distributiva respecto a la suma de vectores Asociativa para números Elemento neutro

1.c – Operaciones internas y externas Operación interna sobre un conjunto Operación externa sobre con dominio sobre escalares

Espacio vectorial Definición Ejemplos Propiedades Subespacio vectorial Combinación lineal de vectores. Sistema generador Dependencia e independencia lineal Base de un espacio vectorial. Teorema de la base. Coordenadas de un vector

2.a - Definición

2.a - Definición A los elementos de un espacio vectorial V se les llama vectores y se denotan xxxx A los elementos de R , en este contexto, se les llama escalares y se pueden denotar

2.b – Ejemplos (I) pares ordenados ternas ordenadas

Éste es el objeto principal de esta unidad 2.b – Ejemplos (II) El conjunto de los vectores libres del plano , respecto a la suma de vectores y al producto de un número real por un vector, es un espacio vectorial. El conjunto de los vectores libres del espacio , respecto a la suma de vectores y al producto de un número real por un vector, es un espacio vectorial. Éste es el objeto principal de esta unidad

2.c - Propiedades

2.d – Subespacio vectorial No es necesario probar que se cumplen las ocho propiedades, basta con… O bien, con…

2.d – Subespacio vectorial - Ejemplo

2.e – Combinación lineal. Sistema generador

2.f – Dependencia e independencia lineal En la primera unidad estudiamos estos conceptos aplicados a las filas y columnas de una matriz

2.f – Dependencia e independencia lineal Ahora podemos generalizar estos conceptos, para los elementos de un espacio vectorial cualquiera En la práctica para determinar la dependencia o independencia lineal de vectores, podemos usar la definición anterior o bien tener en cuenta que

2.f – Dependencia e independencia lineal Ejemplo Dependencia e independencia en V2 Los vectores con la misma dirección son linealmente dependientes Los vectores con distinta dirección son linealmente independientes En el caso de R2 y R3 podemos estudiar la dependencia de vectores colocándolos como filas o columnas de una matriz y recordando: rango (A) = nº de filas o columnas linealmente independientes de A

2.g –Base de un espacio vectorial. Teorema de la base Definición: Un espacio vectorial puede tener muchas bases, formadas por vectores diferentes, pero… Hay espacios vectoriales con bases muy sencillas, por ejemplo…

2.g –Base de un espacio vectorial. Ejemplos. En el espacio vectorial de pares ordenados: En el espacio vectorial de ternas ordenadas: En y en se llaman bases canónicas a …

2. g –Base de un espacio vectorial 2.g –Base de un espacio vectorial. Coordenadas de un vector en una base. Definición: Se escribe entonces: , aunque generalmente se utiliza la misma letra para las coordenadas que para el vector. Es decir, suele escribirse: IMPORTANTE: Las coordenadas de un vector son… Únicas para cada base Diferentes para cada base

2. g –Base de un espacio vectorial 2.g –Base de un espacio vectorial. Coordenadas de un vector en una base. EJEMPLO:

Vectores libres del espacio tridimensional Vector libre Pg. 108 Operaciones con vectores libres Pg. 109 Dependencia e independencia de vectores. Bases. Pg. 110

Producto escalar Definición y propiedades Proyección de un vector sobre otro Interpretación geométrica Expresión analítica Aplicaciones

4.a – Definición Definición: NOTACIÓN: Aunque en el libro de texto se utiliza la misma notación para el módulo de un vector que para el valor absoluto de un número real, nosotros usaremos la siguiente notación: Por tanto el producto escalar se escribiría:

4.a –Propiedades Propiedades: Dd

4.b – Interpretación geométrica SÓLO SI EL ÁNGULO ENTRE LOS VECTORES ES AGUDO 4.b – Interpretación geométrica Conclusión: El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

4.b –Proyección de un vector sobre otro Conclusión: La proyección ortogonal de un vector sobre otro, es un VECTOR El producto escalar de dos vectores coincide con el producto escalar de uno de ellos por la proyección del otro sobre él

4.c – Interpretación geométrica del producto escalar de dos vectores (I) El producto escalar de dos vectores es un NÚMERO Si el ángulo de los vectores es agudo, su producto escalar es igual al producto del módulo de uno de los vectores por el módulo de la proyección del otro sobre él

4.c – Interpretación geométrica del producto escalar de dos vectores (II) De otro modo… El producto escalar de dos vectores es un NÚMERO Si el ángulo de los vectores es obtuso, su producto escalar es igual al OPUESTO del producto del módulo de uno de los vectores por el módulo de la proyección del otro sobre él

4.c – Interpretación geométrica del producto escalar de dos vectores (III) En resumen: El producto escalar de dos vectores es un NÚMERO, cuyo valor absoluto es igual al producto del módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección del otro sobre el primero

4.d – Expresión analítica En una base ORTONORMAL, es decir, de vectores unitarios y perpendiculares entre sí, el producto escalar se calcula con la expresión siguiente:

4.e – Aplicaciones (I) Módulo de un vector: Vectores unitarios: son los que tienen módulo igual a 1. Cualquier vector dividido por su módulo es unitario. Ángulo de dos vectores: A partir de la definición de producto escalar…

4.e – Aplicaciones (II) Vectores ortogonales o perpendiculares. Si no son vectores nulos… Cambio fundamental respecto a la situación en el plano: Ahora no hay sólo un vector perpendicular a otro (salvo proporcionales)

4.e – Aplicaciones (II) Vectores ortogonales o perpendiculares. Si no son vectores nulos… Cambio fundamental respecto a la situación en el plano: Ahora no hay sólo un vector perpendicular a otro (salvo proporcionales)

Producto vectorial Definición y propiedades Interpretación geométrica Expresión analítica Aplicaciones

5.a – Definición Definición: NOTACIÓN: De la misma forma que en el producto escalar, nosotros escribiremos:

5.a –Propiedades Propiedades: Dd

5.b – Interpretación geométrica Conclusión: El producto escalar de dos vectores es un NÚMERO cuyo valor absoluto es igual al producto del módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección del otro sobre el primero El producto vectorial de dos vectores es un VECTOR cuyo módulo es igual al área del paralelogramo que forman dichos vectores

5.c – Expresión analítica En una base ORTONORMAL, es decir, de vectores unitarios y perpendiculares entre sí, el producto vectorial se calcula con la expresión siguiente: Simbólicamente, se suele escribir: ¡Ojo, no es un determinante!

5.d – Aplicaciones Área de un paralelogramo: según la interpretación geométrica… Área de un triángulo: teniendo en cuenta que… Cálculo de un vector perpendicular a dos conocidos: según la definición…

Producto mixto Definición y propiedades Interpretación geométrica Expresión analítica Aplicaciones

6.a – Definición Definición: OBSERVACIÓN: El resultado de esta operación es un número real:

6.a –Propiedades Propiedades: Dd

6.b – Interpretación geométrica α El producto escalar de dos vectores es un NÚMERO, cuyo valor absoluto es igual al producto del módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección del otro sobre el primero El producto vectorial de dos vectores es un VECTOR, cuyo módulo es igual al área del paralelogramo que forman dichos vectores El producto mixto de tres vectores es un NÚMERO, cuyo valor absoluto es igual al volumen del paralelepípedo que tiene por aristas dichos vectores

6.c – Expresión analítica En una base ORTONORMAL (vectores unitarios y perpendiculares entre sí) el producto mixto se calcula con la expresión siguiente:

6.d – Aplicaciones Volumen del paralelepípedo: según la interpretación geométrica… Valor absoluto Volumen del tetraedro: teniendo en cuenta que… 1 paralelepípedo = 2 prismas triangulares 1 prisma triangular = 3 pirámides triangulares o tetraedros Por tanto: 1 paralelepípedo = 6 tetraedros Valor absoluto

Muy importante El producto escalar de dos vectores es un NÚMERO, cuyo valor absoluto es igual al producto del módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección del otro sobre el primero El producto vectorial de dos vectores es un VECTOR, cuyo módulo es igual al área del paralelogramo que forman dichos vectores El producto mixto de tres vectores es un NÚMERO, cuyo valor absoluto es igual al volumen del paralelepípedo que forman dichos vectores