Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Espacios Vectoriales. Índice: Espacio Vectorial: Definición. Subespacio Vectorial: Ejemplos. Dependencia e Independencia Lineal. Combinación lineal. Sistema de generadores. Sistemas libres y sistemas ligados. Base de un Espacio Vectorial. Dimensión de un espacio vectorial. Coordenadas de un vector en una base. Cambio de Base.
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Definición de Espacio Vectorial Dado un conjunto E no vacío cuyos elementos llamaremos vectores y un cuerpo conmutativo K ,cuyos elementos llamaremos escalares, E es un espacio vectorial si cumple las siguientes condiciones: Respecto a la suma de vectores Respecto a producto de un vector por un escalar
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Definición de Subespacio Vectorial En un espacio vectorial E un subconjunto no vació FE es subespacio vectorial de E si el subconjunto F es un espacio vectorial sobre K con la suma de vectores y el producto por un escalar. Es decir, si F cumple las propiedades de los espacios vectoriales. Teorema: La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto F de E sea subespacio vectorial es que contenga la vector nulo, sea estable respecto a la suma de vectores y respecto al producto de un vector por un escalar. Lo que equivale a decir que:
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Ejemplos de Subespacio Vectorial Cualquier vector geométrico contenido en una recta que pase por el origen de coordenadas pertenece a un subespacio vectorial del espacio 3 . Cualquier vector geométrico contenido en un plano que contenga el origen de coordenadas pertenece a un subespacio vectorial del espacio 3 .
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Dependencia e Independencia lineal Combinación lineal Un vector x E es combinación lineal de una familia de vectores e1,e2, …, eq si existen q escalares a1, a2,…,aq tales que : x= a1 e1+a2 e2+…+aq eq F E x e1 eq y z e2 e3 Todos los vectores que se consiguen como combinación lineal de los vectores e1,e2, …, eq forman un subespacio vectorial F e1= 1 e1+0 e2+…+0 eq e2= 0 e1+1 e2+…+0 eq eq= 0 e1+0 e2+…+1 eq ….. y= b1 e1+b2 e2+…+bq eq x= a1 e1+a2 e2+…+aq eq z= l1 e1+l2 e2+…+lq eq
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Sistema de generadores: La familia de vectores e1,e2, …, eq es un sistema generador de todos los vectores del subespacio F, puesto que todos sus vectores se pueden obtener como combinación lineal de los vectores de dicha familia: x= a1 e1+a2 e2+…+aq eq Se dice que el subespacio F está generado por los vectores e1,e2, …, eq y se denota así: F=Span{ e1,e2, …, eq }
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Sistema de vectores linealmente independiente (familia libre): La familia de vectores S={e1,e2, …, en } es un sistema libre ó familia de vectores linealmente independiente si la relación a1 e1+a2 e2+…+an en=0, se cumple solamente cuando a1= a2=…= an=0 Sistema de vectores linealmente dependientes (familia ligada): Si existen n escalares a1, a2,…, an no todos nulos que hacen que se cumpla la igualdad a1 e1+a2 e2+…+an en=0, se dice que los vectores e1,e2, …, en son linealmente dependientes o que la familia S es un sistema ligado.
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Base de un Espacio Vectorial Un conjunto de vectores de un espacio vectorial E forman una base si son un sistema libre y total, es decir, si son un sistema linealmente independiente y sistema generador del espacio vectorial E. Todas las bases de un espacio vectorial están formadas por el mismo número de vectores. B1={e1,e2, …, em }; B2={u1,u2, …, un }. Si B1 y B2 son bases de un mismo espacio vectorial E entonces m=n. Dimensión: Se llama dimensión de un espacio vectorial al número de vectores que forman cualquiera de sus bases. Dado un espacio vectorial de dimensión n cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes forman una base. Ese conjunto de vectores será libre y total; genera todos los vectores del espacio vectorial.
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cálculo de una base partiendo de un sistema generador e1 e3 e1 e3 e4 le1 ge3 e1 e2 e3 e4 ae1 be3 e1 e2 e3 e4 Los vectores que son linealmente dependientes se eliminan. El conjunto de vectores que forman la base tienen que formar un sistema libre.
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Coordenadas de un vector en una base Todo vector x E se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de una base de E B={e1,e2, …, en } x=a1 e1+a2 e2+…+an en Los escalares ai que permiten determinar x como combinación lineal de los vectores de la base B se denominan coordenadas de x en la base B CB(x) y se denota mediante una matriz columna con n filas
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cambio de base Dada una base de un espacio vectorial, un vector queda definido mediante sus coordenadas en dicha base. En este apartado se relacionan las coordenadas de un mismo vector en dos bases distintas Se desea conocer la relación entre xi y x’i es decir entre CB1(x) y CB2(x)
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Los datos del problema serán CB1(x) ó CB2(x) y la relación que existe entre los vectores de las dos bases Dado que ui es vector de E, se puede expresar como combinación lineal de e1, e2, …, en
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Como la representación de un vector en una base es única, los coeficientes de los vectores ei deben ser idénticos a ambos lados de la igualdad. Matricialmente P se llama matriz de Paso de la base B1 a la base B2
Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Matriz de paso: Características Las columnas de la matriz P son las coordenadas de los vectores ui respecto de la base B1