CURSO PROVINCIAL EN CONVENIO CON LA UNIVERSIDAD 1999/2000 INFORMÁTICA EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA C.E.P. II de Valladolid

PRÁCTICA DE POWER POINT SOBRE MATEMÁTICAS LUIS CARLOS ANDRÉS PELAYO I.E.S. LEOPOLDO CANO ABRIL DEL AÑO 2000

RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LOS LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO PARA ALUMNOS DE 4º DE E.S.O.

APLICACIONES PRÁCTICAS TEOREMAS Pitágoras Altura Cateto Senos Coseno Área INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA FÓRMULA DE HERÓN APLICACIONES CONSECUENCIAS APLICACIONES PRÁCTICAS

TEOREMA DE PITÁGORAS ENUNCIADO NOMINAL En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

TEOREMA DE PITÁGORAS ENUNCIADO SIMBÓLICO a b c a2 = b2 + c2

EXPRESIÓN GRÁFICA En un triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos. a2 b2 c2

es igual a la suma de los cuadrados de la derecha DEMOSTRACIÓN GRÁFICA Construimos un cuadrado de lado b+c. Unimos los puntos A, B, C y D obteniendo un nuevo cuadrado de lado a: Construimos otro cuadrado de lado b+c, uniendo al dibujo inicial otros 3 triángulos iguales como se ve en la animación siguiente: A B C D b c a a b2 a2 b c c2 Se ve que el cuadrado de la izquierda es igual a la suma de los cuadrados de la derecha

DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA Construimos un cuadrado de lado b+c. Unimos los puntos A, B, C y D obteniendo un nuevo cuadrado de lado a: Observamos que: Área = Área - 4Área A B C D b c a Es decir: a2 = ( b + c )2 - 4·( b · c ) = = b2 + 2bc + c2 - 2bc Por tanto: a2 = b2 + c2

APLICACIONES Cálculo de: La diagonal de un rectángulo. La altura de un triángulo equilátero. Una diagonal de un rombo. La altura de un trapecio. La apotema de un polígono regular. ELEGIR UNA PULSANDO SU BOTÓN.

APLICACIÓN 1 Dado un rectángulo de lados 9 y 12 cm., calcula su diagonal. Construimos un rectángulo de esas medidas. Trazamos su diagonal d Y aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos: d2 = 92 + 122 = 225 9cm d 12cm Por tanto: d = 15 cm

APLICACIÓN 2 Calcula la altura h de un triángulo equilátero de lado l. Dibujamos un triángulo equilátero de lado l y trazamos su altura h. Aplicamos el T. de Pitágoras al triángulo rectángulo de la izquierda: l h l/2 l2 = (l/2)2 + h2 h2 = l2 - l2/4 Por tanto:

APLICACIÓN 3 El lado de un rombo mide 10 cm y su diagonal mayor 16 cm.Halla su diagonal menor. Dibujamos un rombo y trazamos sus diagonales. Queda descompuesto en 4 triángulos rectángulos. Aplicamos el T. de Pitágoras a uno de ellos y obtenemos la mitad de la diagonal menor: x = d/2. 10 8 x 102 = 82 + x2 x2 = 100 - 64 = 36 Por tanto: d/2 = x = 6 cm d = 12 cm

APLICACIÓN 4 Calcula la altura de un trapecio isósceles de bases 8 y14 cm y lado oblicuo 5 cm. Dibujamos un trapecio isósceles y trazamos sus alturas. 8 Aplicamos el T. de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la derecha: 5 h 3 8 3 52 = 32 + h2 h2 = 25 - 9 = 16 14 Por tanto: h = 4 cm.

Dibujamos un hexágono regular. APLICACIÓN 5 Calcula la apotema de un hexágono regular de lado 6 cm. Dibujamos un hexágono regular. Trazamos 2 radios y la apotema. En el triángulo rectángulo de la derecha aplicamos el T. de Pitágoras: 3 a 6 62 = 32 + a2 a2 = 36 - 9 = 27 Por tanto:

TEOREMA DE LA ALTURA (I) ENUNCIADO En un triángulo rectángulo la altura es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa. H A B C b c a x y h

TEOREMA DE LA ALTURA (II) DEMOSTRACIÓN Los triángulos rectángulos AHB y AHC son semejantes por tener un ángulo agudo igual: B = a A B C b c a x y h H Entonces sus lados son proporcionales: (Utilizamos los catetos sólo) H A C a B H A Por tanto:

TEOREMA DEL CATETO (I) ENUNCIADO En un triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. H A B C b c a x y h y e

TEOREMA DEL CATETO (II) DEMOSTRACIÓN 1 H A B C b c a x y Los triángulos rectángulos ABC y AHB son semejantes por tener un ángulo agudo común B. Entonces sus lados son proporcionales: (Utilizamos hipotenusas y catetos menores) A B C B H A Por tanto:

TEOREMA DEL CATETO (III) DEMOSTRACIÓN 2 H A B C b c a x y Los triángulos rectángulos ABC y AHC son semejantes por tener un ángulo agudo común C. Entonces sus lados son proporcionales: (Utilizamos hipotenusas y catetos mayores) B A C A H C Por tanto:

CONSECUENCIA DE LOS TEOREMAS ANTERIORES (I) ENUNCIADO En un triángulo rectángulo la altura es la cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos. H A B C b c a x y h

CONSECUENCIA DE LOS TEOREMAS ANTERIORES (II) DEMOSTRACIÓN H A B C b c a x y h Por el Teorema de la Altura: (1) Por el Teorema del Cateto: y De aquí que: y Sustituyendo en (1):

TEOREMA DE LOS SENOS (I) ENUNCIADO En un triángulo cualquiera los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. A B C c a b

TEOREMA DE LOS SENOS (II) DEMOSTRACIÓN 1 Si el triángulo es acutángulo. En el triángulo CHB: A B C c a b En el triángulo AHC: Igualando: h H´ h’ H Trazando la altura desde A llegaríamos a: Por tanto:

TEOREMA DE LOS SENOS (III) DEMOSTRACIÓN 2 Si el triángulo es obtusángulo. En el triángulo CHB: En el triángulo AHC: A B C a b c Igualando: h Trazando la altura desde A llegaríamos a: H` h’ H

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA En un triángulo cualquiera la razón constante entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo. B C A O D r c a b

DEMOSTRACIÓN Unimos D con A y tenemos un triángulo rectángulo BAD. En él se ve: Pero a = C por ser inscritos y abarcar el mismo arco AB. a Por tanto: Aplicando el Teorema de los Senos obtenemos:

APLICACIÓN TEÓRICA DEL TEOREMA DE LOS SENOS La bisectriz interior de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en 2 segmentos que son proporcionales a los lados adyacentes de dicho triángulo. A B C x y D c b

DEMOSTRACIÓN Aplicando el Teorema de los Senos a los triángulos ACD y ADB obtenemos: A B C x y D c b a P-a e Intercambiando los medios de las dos proporciones y como sena = sen(p -a) tenemos:

TEOREMA DEL COSENO (I) ENUNCIADO En un triángulo cualquiera ABC se cumplen las relaciones siguientes: A B C a b c

TEOREMA DEL COSENO (II) DEMOSTRACIÓN 1 Si el triángulo es acutángulo: A B C a b c En el CHB: h2 = a2 - (c-x)2 (1) En el AHC: h2 = b2 - x2 (2) h cos A = x / h x = b·cosA (3) x c-x Igualando (1) y (2): a2 - (c-x)2 = b2 -x2 H a2 = b2 - x2 + c2 -2cx + x2 a2 = b2 + c2 -2cx Sustituyendo (3): a2 = b2 + c2 -2cb·cosA

TEOREMA DEL COSENO (III) DEMOSTRACIÓN 2 Si el triángulo es obtusángulo: C B A b c a En el CHB: h2 = a2 - (c+x)2 (1) En el AHC: h2 = b2 - x2 (2) h cos (P-A) = -cosA = x / h x H x = - b·cosA (3) c + x Igualando (1) y (2): a2 - (c+x)2 = b2 -x2 a2 = b2 - x2 + c2 + 2cx + x2 a2 = b2 + c2 + 2cx Sustituyendo (3): a2 = b2 + c2 -2cb·cosA

Entonces sustituyendo: ÁREA DE UN TRIÁNGULO Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos: b, c y A. h a b c A B C H El área del triángulo es: Pero en el AHC: Entonces sustituyendo:

FÓRMULA DE HERÓN Conocidos los tres lados a, b y c de un triángulo, el área viene dada por la fórmula: A B C a b c siendo (semiperímetro)

DEMOSTRACIÓN A B C a b c Sabemos que el área de un triángulo es: h Aplicando el Teorema del Coseno: Por tanto:

APLICACIONES PRÁCTICAS Aplicaciones del Teorema del Cateto y de la Altura.. Aplicaciones del Teorema del Coseno y de los Senos. Problemas de móviles. Resolución de Triángulos. Cálculo de Superficies irregulares.

APLICACIONES DEL T. DEL CATETO Y DE LA ALTURA El ángulo que forma la escalera del dibujo en el punto A es recto. Para sujetar la escalera se han puesto por debajo las vigas 1 y 2. Calcula la longitud de cada viga. Aplicamos el T. de la altura y calculamos la longitud de la viga 1: A 1 2 3 m 3 m 4,5 m Para calcular la longitud de la viga 2 aplicamos el T. De Tales:

APLICACIONES DEL T. DEL CATETO Y DE LA ALTURA Las ciudades A, B y C están situadas en los vértices de un triángulo rectángulo en A. Una gasolinera G está situada en la proyección de A sobre la hipotenusa BC y dista de C 25 Km y de B 56 Km. Calcula la distancia de A a G y la que hay entre cada dos ciudades. Aplicando el Teorema de la altura hallamos AG: A 25 56 B C G Aplicando el Teorema de Pitágoras hallamos AC y AB: y

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL COSENO Y DE LOS SENOS Un avión realiza el trayecto entre dos ciudades P y Q que distan entre si 2.000 Km. A 700 Km de la ciudad P, el piloto observa que se encuentra 10º fuera de ruta. ¿A qué distancia se encuentra en ese momento de la ciudad Q? ¿Qué ángulo tiene que virar para dirigirse hacia ella? P Q R 2000 700 d Aplicando el Teorema del Coseno: Aplicando el Teorema de los Senos: R=164º41’53,5’’

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL COSENO Y DE LOS SENOS Dos boyas están situadas a 64 m de distancia. Un barco se encuentra a 35 m de la más cercana. El ángulo formado por las visuales de las boyas es de 30º.¿Qué distancia separa al barco de la boya más alejada? C Aplicando el Teorema de los Senos: d senC = 0,2734 64 30º C = 15º52’8’’ A = 134º7’52’’ B A 35 Aplicando de nuevo el Teorema de los Senos:

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL COSENO Y DE LOS SENOS En un Supermercado A se produce un robo. La alarma está conectada a 2 Comisarías cercanas B y C, separadas entre sí por 4 Km. Con los datos del dibujo, si los ladrones salen del local 2 minutos después de sonar la alarma y el cohe de policía de B va a 80 Km/h y el de C a 120 Km/h, ¿llegará alguno de ellos antes de que salgan los ladrones?. A = 180º - (B+C) = 75º A Aplicando el Teorema de los senos: c b 60º 45º B C a=4Km Llegan los de C

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL COSENO Y DE LOS SENOS Un topógrafo C situado en la llanura observa 2 picos A Y B de una montaña situados a 870 y 960 m respectivamente del observador con un ángulo de 60º. Encuentra al distancia entre ambos picos. A Aplicando el Teorema del Coseno: c 870m 60º C B 960m

PROBLEMAS DE MÓVILES Un barco sale de un puerto A en dirección NE a una velocidad de 40 nudos. Al cabo de 3 horas gira 60º a babor y permanece en ese rumbo durante 5 horas. Entonces decide regresar al puerto A. ¿Cuántos grados a babor deberá girar y cuánto tardará en llegar? (1 nudo= 1,852 km/h). V=74 Km/h AB = 74·3 = 222 Km BC = 74·5 = 370 Km Aplicando el T. del Coseno calculamos la distancia CA: B 60º Aplicando el T. De los Senos calculamos el ángulo C: senC= AB·senB/CA = 222·0.866/322,6 = 0,596 Por tanto: C=36º35’ (deberá girar a babor) A t= 4h 21m 34sg. C Tardará en llegar: t= CA/V

PROBLEMAS DE MÓVILES Un avión observa dos ciudades A y B bajo ángulos de depresión de 30º y 45º respectivamente. Si la distancia entre las ciudades es de 40 Km, calcula la altura a la que se encuentra y la distancia que le separa del campo de aterrizaje en la ciudad B. Q Entonces A=30º y B=45º. Por tanto C=105º Aplicando el Teorema de los Senos obtenemos a: 30º 45º h a A B 40 Km En el triángulo rectángulo de la derecha: Despejando calculamos h:

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver el triángulo ABC conocidos: a = 10 cm, b = 6 cm y A = 30º.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver el triángulo ABC conocidos: a = 10 cm, b = 16 cm y A = 30º. Aplicando el Teorema de los Senos: A B C a b c Por tanto: y Aplicando de nuevo el Teorema de los Senos: Por tanto:

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resuelve el triángulo ABC conocidos: b = 12 cm, c = 6 cm y A = 60º. Calcula su Área. B Aplicando el Teorema del coseno: c a 60º A C b Aplicando el Teorema de los Senos: B = 90º C = 30º Calculamos su Área:

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resuelve el triángulo ABC conocidos: a = 10 cm, B = 60º y C = 45º. Calcula su Área. Calculamos el ángulo A: A = 180º - (B+C) = 75º A b Aplicamos el Teorema de los Senos: c B a C Calculamos b y c: y Por último, calculamos el Área:

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver el triángulo ABC conocidos sus lados: a = 10 cm, b = 5 cm y c = 5 cm. Calcula su Área. A Aplicando el Teorema del Coseno: c b C a B De aquí que: A=90º, B=30º y C=60º El Área:

SUPERFICIES IRREGULARES Disponemos de un terreno cuadrangular irregular como indica el siguiente dibujo. Si queremos calcular su superficie, medimos sus lados y la diagonal AC, obteniendo las siguientes medidas: AB=45m, BC=50m, CD=20m, DA=25m y AC=35m. D Aplicamos la Fórmula de Herón a los triángulos ABC y ACD y lo sumamos: C A Entonces el Área total será: B

SUPERFICIES IRREGULARES Calcula la superficie de la figura con los datos que aparecen en ella. A Calculamos las áreas de los triángulos ABE, BED y BCD aplicando la Fórmula de Herón: 7m 6m B 11m E 9m 12m 9m C D 7m Por tanto:

FIN