ANGEL RUIZ REFORMA DE LAS MATEMÁTICAS MODERNAS Y UNA NUEVA DISCIPLINA Presidente, Comité Interamericano de Educación Matemática, CIAEM.

Seminario de Royaumont. OECD 1959 Edimburgo 1958: Congreso internacional de matemáticos Κάτω από Ευκλείδιας (της Αλεξάνδρειας)! Abajo Euclides! Euclides must go! Reforma de las Matemáticas Modernas “NEW MATH”

Jean Dieudonné

Royaumont años de interés en la “modernización” de las matemáticas preuniversitarias. OEEC: Organisation for European Economic Cooperation 17 países: Austria, Bélgica, Dinamarca, Francia, Alemania, Grecia, Islandia, Irlanda, Italia, Luxemburgo, Holanda, Noruega, Portugal, Suecia, Suiza, Turquía, Reino Unido Estados Unidos, Canadá, miembros asociados Yugoslavia, observador

3 secciones principales Directores  Jean Dieudonné (Francia)  Pierre Theron (Inspector General ME, Francia)  Howard Fehr (EUA) Editor del Reporte final Presidente Seminario: Marshal Stone (EUA) “currículo revolucionario”

1. Definiciones Ocotal, Costa Rica

Reducir brechas matemáticas universitarias y preuniversitarias  un problema colocado dentro de una óptica específica (contenidos no métodos) 1. Erradicación geometría euclidiana 2. “Conjuntivitis” 3. Estructuras algebraicas: muy temprano y en exceso 4. Peso excesivo aspectos formales y demostrativos 5. Peso excesivo simbología y al lenguaje 6. Sobredimensión del rigor matemático 7. Poca relación con el entorno o las otras ciencias. No se hacen aplicaciones

Más características Reducir geometría al álgebra o al análisis Contenidos algorítmicos omitidos, no son relevantes Resolución de problemas es secundaria en relación con la axiomática El análisis se trata “suave” y no “duro” Se condena la estructura combinatoria como no estructural (debilita discretas)

2. Desarrollo y éxito Volcán Arenal, Costa Rica

Reuniones para la reforma Arhus, Dinamarca, en 1960 (auspiciada por el ICMI); Zagrev y Dubrovnik en Yugoslavia, 1960 Bolonia en 1962 Atenas en noviembre de 1963 Lyon, Francia, en

Estrategia operativa Primero secundaria y luego primaria. diferencias nacionales, Brasil Entre : reuniones y conferencias grupos de expertos para crear programas libros de texto preparación de maestros creación de proyectos institucionales con financiación estatal o internacional para la primaria.

UNESCO  Centre for Educational Research and Innovation (CERI), 1968, revelaba esta dirección  años cruciales apoyo: 1969 a 1974

Proyectos nacionales Nuffield (Inglaterra)  Geoffrey Matthews Alef (Alemania)  1965, Heinrich Bauersfeld para dirigir el proyecto de matemáticas escolares  1966 Alef, Universidad de Frankfurt en Hessen. Analogue (Francia)  Nicole Picard.

Francia, agenda de la reforma 1955: clases preparatorias para las “Grandes Ecoles”; 1963: reforma en los últimos años de la secundaria; 1969: toda la secundaria; 1971: los primeros años de la escuela primaria.

Estados Unidos National Science Foundation  1958, conferencia de matemáticos en Chicago  una semana después, Cambridge, Massachussets, EUA

University of Illinois Committee on School Mathematics, 1952  Max Beberman, “New Mathematics Curriculum”  School Mathematics Study Group, 1958  Edgard G. Begle, Yale.

3. Razones o Sinrazones

A. Protagonismo matemático B. El influjo de la ideología Bourbaki C. El influjo del estructuralismo en la evolución psicológica y … pedagógica D. Compulsiones filosóficas dominantes sobre las matemáticas SIMBIOSIS

A. Protagonismo matemático Francia y EUA Óptica y parámetros específicos B. El influjo de la ideología Bourbaki A y B se refuerzan mutuamente

Nicolás Bourbaki: de carne y hueso

El general Charles Denis Sauter Bourbaki fue una figura llena de colorido. En 1862, a la edad de cuarenta y seis años, se le ofreció una oportunidad para llegar a ser rey de Grecia, pero declinó. Actualmente se le recuerda principalmente por la forma cruel como fue tratado por la fortuna en los azares de la guerra. Paul Halmos

En 1871, después de huir de Francia a Suiza con un resto pequeño de su ejército, fue prisionero allí y trató de suicidarse. Al parecer fracasó, ya que llegó a vivir hasta la venerable edad de ochenta y tres años.

Bourbaki: el grupo

Primer congreso Bourbaki (Julio 1935): de izquierda a derecha, de pie, H. Cartan, R. de Possel, J. Dieudonné, A. Weil, un técnico del laboratorio universitario; sentados, Mirlés, Cl. Chevalley, S. Mandelbrojt

Congreso Bourbaki 1938, de izquierda a derecha, S. Weil, C. Pisot, A. Weil, J. Dieudonné, C. Chabauty, C. Ehresmann, J. Delsarte

Éléments de Mathématique (1938) I Teoría de Conjuntos (1939) II Álgebra III Topología IV Funciones de una variable real V Espacios vectoriales topológicos VI Integración

∅ (noruego) Q (Quotient) Z (Zahlen) inyectivo, sobreyectivo, biyectivo, "la aplicación x --> f(x)"

Henri Cartan (13 de agosto)

Jean Alexandre Eugène Dieudonné

André Weil

Claude Chevalley

Jean Delsarte

Laurent Schwartz

Alexander Grothendieck 1928-?

La “ideología” Bourbaki Organización y fundamento Unidad matemática: no “matemáticas” Axiomática (Elementos) Teoría de conjuntos (primer tomo)  Organización por medio de conjuntos, relaciones y funciones

Estructura algebraica (grupos, anillos, módulos, cuerpos, etc.) y topológica (espacios compactos, convexos, normales, etc. ) unidas en los espacios vectoriales De los conjuntos a las estructuras (y a las categorías!)

Propósitos Pierre Cartier (1997): Bourbaki: una nueva matemática. Nuevo Euclides: crear los textos para 2000 años más Énfasis en el rigor; porque esto le faltaba a los franceses en contraposición con los alemanes

Otros influjos H.G. Steiner (Alemania) Estructuras en las matemáticas  Axiomática Hilbert  Abstracción algebraica

Hilbert Formalismo, axiomatismo, legado de Matemáticos franceses Afirmación gremial después I GM

C. El influjo del estructuralismo en la evolución psicológica y … pedagógica etapas mentales

Etapa Sensomotora: periodo: 0 – 2 años Etapa Preoperacional: periodo: 2 – 7 años Etapa de las Operaciones Concretas: Periodo: 7 – 11 años Etapa Lógico Formal: Período: 12 – 16 años

Etapas: definidas por estructuras

D. Compulsiones filosóficas dominantes sobre las matemáticas  Apriorismo: Primeros principios  Absolutismo; verdades absolutas, intemporales  Axiomatismo Proyectos fundacionales: logicismo, formalismo, intuicionismo Racionalismo  Sobrestimación del Sujeto y la Razón, criterios de verdad  Subestimación del objeto - mundo empírico- sensorial, historia y sociedad

Sobre el nombre Bourbaki El nombre es casualidad  Raoul Husson (1923)  Eveline Weil (1935). Nicolás

H. Cartan y J.P. Serre

Pierre Eilembert Alain Connes

Sobre la motivación inicial de Bourbaki  “Al empezar, nuestro objetivo era de alguna manera pedagógico; se trataba de trazar las grandes líneas de la enseñanza de las matemáticas para el nivel de licenciatura”.  André Weil: Memorias de aprendizaje (NIVOLA, 2002)

4. Más razones para el éxito de la reforma

 Condiciones: gremiales, ideológicas, filosóficas, etc.  Pero también Спутник y Лэйка

Спутник Sputnik: 4 de Octubre, 1957

Лэйка Laika: Sputnik 2, 3 de noviembre 1957

En la URSS, 1966, Acad. Ciencias+ Acad. Ciencias pedagógicas Bajo A. N. Kolmogorov: comité, Reforma de 4 a 10 grados. “el tipo de reforma que se desarrolla en los países occidentales es inaceptable.” Por ejemplo: ningún tópico de teoría de conjuntos se aceptó para incluirse en los textos escolares. Aunque algunas aproximaciones en la enseñanza de la geometría, pero no como se planteó en Occidente.

Rochester, 1979 ….

5. Fracaso Rechazo maestros, padres y estudiantes Back to basics Final: ICME 4, 1980, Berkeley, EUA

Me arrepiento de no haber estado en Royaumont, …

Las nuevas matemáticas, como un todo, corresponden al punto de vista del matemático superficial, que sabe apreciar solamente pequeños detalles deductivos y distinciones estériles y pedantes como aquella entre número y numeral, y que pretende realzar lo trivial con una terminología y un simbolismo impresionantes y sonoros.

Se nos ofrece una versión abstracta y rigurosa de la matemática, que oculta su rica y fructífera esencia y hace hincapié en generalidades poco inspiradoras, aisladas de todo otro cuerpo de conocimiento. Se subrayan sofisticadas versiones finales de las ideas simples, mientras se tratan superficialmente las ideas más profundas, lo que conduce necesariamente al dogmatismo.

El formalismo de este plan solamente puede conducir a una disminución de la vitalidad de las matemáticas y a una enseñanza autoritaria, al aprendizaje mecánico de nuevas rutinas, mucho más inútiles que las rutinas tradicionales. Resumiendo, pone de relieve la forma a expensas de lo sustancial y presenta lo sustancial sin pedagogía ninguna.

6. En América Latina

1959: en Cuba el derrocamiento de Batista y la toma del poder por Fidel Castro.

La reforma se expandió en diferentes países de distintas maneras: Textos, Grupo de Estudio de las Matemáticas Escolares, SMSG, EUA Brasil: 1961, GEEM de Sao Paulo, O. Santorini, … NEDEM Curitiba 1962, GEEMPA Porto Alegre, Primera Conferencia Interamericana de Educación Matemática, Bogotá,1961. Segunda Conferencia Interamericana de Educación Matemática, Lima,  Costa Rica: 1964 en programas oficiales

Marshall Stone Operadores auto adjuntos en espacios de Hilbert, teoría espectral, álgebras booleanas, teorema de Stone- Weierstrass Presidente AMS ( ) IMU ( ) ICMI ( ) CIAEM ( )

Frases célebres Choquet  “Nuestro lema será: el álgebra y las estructuras fundamentales desde la Escuela hasta la Universidad”

Howard Fehr  “La geometría de Euclides (...) no tiene nada que ver con estos temas; es hoy estéril, se halla fuera del camino principal de los adelantos matemáticos y puede ser relegada sin temor a los archivos para uso de los historiadores del mañana”

Agente de la reforma Comité Interamericano de Educación Matemática CIAEM  International Commission on Mathematical Instruction,  International Mathematical Union

DE LA REFORMA A PUENTE ENTRE LAS AMÉRICAS Integración de educadores matemáticos en esta región. Utilización inteligente de los resultados y experiencias internacionales en beneficio de la región latinoamericana

Luis Santaló Ubiratan D’Ambrosio

Bahía Blanca, Argentina, noviembre/1972 Caracas, Venezuela, diciembre/1975, Campinas-SP, Brasil, febrero/1979 Guadalajara, México, noviembre/1985, Santo Domingo, República Dominicana, julio/1987 Miami, EUA, agosto/1991 Santiago, Chile, agosto/1995, Maldonado, Uruguay, agosto/1999 Blumenau, Brasil, agosto/2003

Aviso clasificado

XIII CIAEM Recife Brasil, junio, AÑOS

Críticas: I CIAEM Omar Catunda, Brasil: … en esta parte del mundo lo que se planteaba no era “Fuera Euclides” sino “Al menos Euclides”.

7. Algunas consecuencias de la Reforma Playa Hermosa, Costa Rica

Replanteo de premisas de la Reforma  Sobre los matemáticos universitarios (su papel, visión y necesidades)  Sobre las matemáticas y su enseñanza aprendizaje  Sobre el currículo: ideas que dominaron desde antes de la reforma  Sobre el papel de los educadores matemáticos

Replanteo de la óptica y necesidades de los matemáticos No distinción entre matemáticas y educación matemática, pesó mucho  Los matemáticos debían comandar la reforma educativa  Las necesidades y los paradigmas de los matemáticos debían asumirse en la educación Subordinación de la geometría al álgebra. Papel de los conjuntos y las estructuras. Lugar de la axiomática, la demostración y el rigor Relevancia del lenguaje

¿Cómo se vivió la reforma? Diversidad de desarrollos teóricos y profesionales en la Educación Matemática

Diferencias educativas Subordinación enseñanza de la matemática a facultades de educación o de ciencias sociales o a departamentos de matemática. Organización: ausencia sistema centralizado en educación (Estados Unidos) o sistema estatal centralizado (Francia).

Diferencias filosóficas y culturales  Filosofía francesa sobre las matemáticas (Poincaré, Brunschvicg, Bachelard) o filosofía neopositivista en el mundo anglosajón Diferencias socio académicas y socio científicas  Debilidad en ciencias y matemáticas (América Latina)  Particularidades nacionales (Brasil o Costa Rica)

Estudios comparativos Países europeos y en America Latina por separado. En la agenda: estudio comparativo internacional con varios continentes

Consecuencia más general Potenciación Educación Matemática  Investigación, hacia la teoría y la práctica  Organización y crecimiento  H. G. Steiner: Más “investigación fundamental” Perspectiva de sistemas: escolar, formación de profesores, didáctica matemática (universidades) Una nueva disciplina y un nuevo perfil de formación

8. Una nueva disciplina

Educación Matemática no es Matemática

Diferencias básicas La M es un ciencia “exacta” o natural EM es una ciencia social  objetos no abstractos,  el entorno social y personal es parte de su objeto

Patrones de progreso cognoscitivos distintos: más saltos en la EM Mayor grado de invocación de interdisciplina en la EM Nociones y conceptos “menos precisos” en la EM Impacto social diferente: participación de la política (sentido general) en la EM

Lógicas científicas diferentes  en la construcción cognoscitiva  en la validación de sus resultados  en la estructura de sus comunidades académicas  en su uso social

Pedagogía específica de las matemáticas (L. Shulman, 1986)  Conocimientos o competencias Matemáticas “aplicadas” (H. Bass, 2005) Currículo, por ejemplo

International Commission on Mathematical Instruction ICMI IV International Congress of Mathematicians (Roma de abril de 1908; 1954 nombre actual)  ICME 11, Congreso mundial en Monterrey, México, en julio 2008 Felix Klein (Alemania) H. Fehr (Estados Unidos) Jacques Hadamard (Francia) Hans Freudenthal (Holanda)

ICMI Studies, década 1980’s 1. La influencia de las computadoras y la informática en las matemáticas y su enseñanza. Estrasburgo (1985). 2. Las matemáticas escolares en los años noventa. (1986). 3. Matemáticas como una materia de servicio. (1987). 4. Matemáticas y cognición. (1987). 5. La popularización de las matemáticas. (1989).

ICMI Studies, década 1990’s 6. La evaluación en la educación matemática. (1991). 7. Género y educación matemática. (1993). 8. ¿Qué es investigación en educación matemática y cuáles son sus resultados? (1994). 9. Perspectivas de la enseñanza de la geometría para el siglo XXI. (1995) 10. El papel de la historia de la matemática en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. (1998). 11. La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en el nivel universitario. (1998).

ICMI Studies, década El futuro de la enseñanza y el aprendizaje del álgebra. (2001). 13. Educación matemática en tradiciones culturales diferentes. Un estudio comparativo de Asia del Este y Occidente. (2002). 14. Aplicaciones y modelación en la educación matemática. (2004).

ICMI Studies, década Educación y desarrollo profesional de los maestros de matemáticas (2005) 16. Matemáticas retadoras dentro y fuera del aula (2005) 17. Tecnologías digitales y enseñanza de las matemáticas: repensando el terreno. (2005) 18. Estadística y probabilidad en la educación matemática. (2005)

19. Prueba y demostración en la educación matemática (2007) 20. Interrelaciones educativas entre Matemáticas e Industria (2007) 21 Re-sourcing la Enseñanza y Aprendizaje de Matemáticas en Contextos Multilingües (2007)

Síntesis

MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN