CLASE 2: Técnicas de Conteo y Probabilidades Sector: Matemáticas Curso: 1° Medio B Subsector: Matemáticas Profesora: Daniela Gaete CLASE 2: Técnicas de Conteo y Probabilidades DIAGRAMA DE ÁRBOL PERMUTACIONES

Técnicas de conteo Son estrategias utilizadas en situaciones en las que es difícil llevar a cabo una cuantificación por observación directa

Diagrama de árbol Es una técnica de conteo que permite representar gráficamente un experimento que consta de n pasos, donde cada uno tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Camila no sabe que usar hoy.

Diagrama de árbol: ¿Cuál es la probabilidad de que Camila use la Jeans Blusa zapatos sandalias Polera Shorts Blusa zapatos sandalias Polera ¿Cuál es la probabilidad de que Camila use la polera, short y sandalias?

Aníbal juega un videojuego y debe escoger las siguientes características para su auto:

Auto deportivo Llantas N°1 Rojo Amarillo Negro Verde Llantas N°2 Hammer Llantas N°1 Rojo Amarillo Negro Verde Llantas N°2 ¿Cuál es la probabilidad de que elija el auto deportivo las llantas N°2 y el color sea negro?

Principio Multiplicativo Indica que si un proceso se realiza de n maneras distintas y otro de m maneras distintas, existen n∙m maneras distintas de realizar ambos procesos.

PERMUTACIONES

Permutaciones sin Repetición Son cada una de las ordenaciones posibles elementos de un conjunto finito Una permutación de n elementos diferentes se calcula mediante 𝑛! Es decir 𝑃 𝑛 =𝑛! Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

Un juego consiste en adivinar el orden de extracción de tres pelotas (Amarilla, Celeste y Fuccia). Ana apostó que el orden de las pelotas será Fucsia, Amarilla, Celeste ¿Cuál es la probabilidad de que gane la apuesta? Resultados posibles al sacar la primera bolita Resultados posibles al sacar la segunda bolita Resultados posibles al sacar la tercera bolita

Análogamente, utilizando el principio multiplicativo se obtiene el total de casos posibles, esta situación corresponde a una permutación. 𝑃 3 =3!= 3 ∙ 2∙ 1=6 Total de casos Posibilidades para la primera extracción Posibilidades para la segunda extracción Posibilidades para la tercera extracción

Permutaciones con elementos repetidos Sí entran todos los elementos. Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos. Una permutación de n elementos, en los cuales existen r elementos iguales entre si, k elementos iguales entre sí, y m elementos iguales entre sí, se calcula dividiendo la cantidad de permutaciones de n elementos en el producto de permutaciones de r, k y m elementos repetidos . Esto se generaliza mediante la expresión: 𝑃 𝑛(𝑟,𝑘,𝑚) = 𝑛! 𝑟!∙𝑘!∙𝑚!

Permutaciones con elementos repetidos En una caja hay 3 bolitas, dos de ellas verdes y una roja ¿ cual es la probabilidad que de el orden de extracción sea verde-verde-rojo?

Permutaciones con elementos Repetidos Otra forma de cuantificar la situación, sin utilizar el diagrama de árbol, es considerar los elementos repetidos para calcular la extracción. Hay 3! Casos posibles y 2 elementos repetidos 3! 2! = 3∙2∙1 2∙1 = 6 2 =3

Ejemplo En una caja tenemos 10 pelotas, las cuales son 5 azules, 3 rojas y 2 verdes ¿ cuantas extracciones diferentes existen? 10! 5!∙3!∙2! = 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 (5∙4∙3∙2∙1)∙(3∙2∙1)∙(2∙1) =