Teorema de Pitágoras 1 Triángulos rectángulos Un triángulo es triángulo rectángulo si tiene un ángulo recto. A Ángulo recto C B A b a c Hipotenusa a c C b B Catetos Los catetos son perpendiculares

Dos propiedades de interés: Teorema de Pitágoras 2 Triángulos rectángulos: propiedades Dos propiedades de interés: Primera Segunda En un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos vale 90º La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos rectángulos iguales. A B C C B A a c b M Los triángulos ABM y AMC son iguales BM = MC son complementarios

el área del cuadrado construido Teorema de Pitágoras 3 Teorema de Pitágoras: idea intuitiva En un triángulo rectángulo: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa Área = a2 c a b es igual Área = c2 a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos Área = b2 a2 = b2 + c2

Teorema de Pitágoras 4 Teorema de Pitágoras: comprobación Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm Hallemos el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa. El área del cuadrado construido sobre el primer cateto vale 9 Observa: Hay 3·3 = 9 cuadraditos 3 4 1. El área del triángulo es 6 2. El cuadrado sobre la hipotenusa contiene 4 triángulos de área 6. Además contiene un cuadradito de área 1. El área del cuadrado construido sobre el segundo cateto vale 16 Hay 4·4 = 16 cuadraditos 3. Su área total es 6·4 + 1 = 25. Luego es un cuadrado de lado 5 Por tanto: 32 + 42 = 52

Teorema de Pitágoras 5 Teorema de Pitágoras: segunda comprobación Consideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm2 Observa que en ese cuadrado caben: Se tiene pues: c 49 = 4·6 + c2 c2 4 Cuatro triángulos rectángulos de catetos 3 y 4 cm. Cuyas áreas valen 6 cm2 cada uno. 25 cm2 c2 = 49 - 24 = 25 3 c2 = 25 = 52 6 cm2 25 = 9 + 16 7 Además cabe un cuadrado de lado c, cuya superficie es c2. Por tanto, 52 = 32 + 42

Teorema de Pitágoras 6 Teorema de Pitágoras: ejercicio primero En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, calcula la hipotenusa. a? 5 Haciendo la raíz cuadrada 12 Como a2 = b2 + c2 se tiene: a2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 a = 13 cm

Teorema de Pitágoras 7 Teorema de Pitágoras: ejercicio segundo En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. Calcula el valor del otro cateto. Como c2 = a2 + b2 se tiene: a2 = c2 - b2 10 6 Luego: b2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64 Haciendo la raíz cuadrada: b? b = 8 cm

Teorema de Pitágoras 8 Los triángulos “sagrados” Fueron muy utilizados por los arquitectos y agrimensores egipcios. 32 + 42 = 52 5 4 62 + 82 = 102 3 92 + 122 = 152 10 8 Las medidas de sus lados son: 3, 4 y 5 o 5, 12 y 13 (También las proporcionales a estas) 6 15 Todos ellos son rectángulos, pues cumplen la relación: a2 + b2 = c2 12 13 9 5 52 +122 = 132 12

Teorema de Pitágoras 9 Reconociendo triángulos rectángulos Un carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60 cm de ancho y 80 de largo. 80 cm ¿Estará bien construido si la diagonal mide 102 cm? b a Como los lados de la ventana y la diagonal deben formar un triángulo rectángulo, tiene que cumplirse que: a2 = b2 + c2 102 cm 60 cm c Pero 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 La ventana está mal construida Mientras que 1022 = 10404 Son distintos

Teorema de Pitágoras Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado. 7 10 Cálculo de la diagonal de un cuadrado Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado. 7 ¿Cuánto mide su diagonal? La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm cada uno. 7 d Cumplirá que: d2 = 72 + 72 Luego, d2 = 49 + 49 = 98

Teorema de Pitágoras Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm. 11 Cálculo de la diagonal de un rectángulo Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm. ¿Cuánto mide su diagonal? 8 La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, respectivamente. 6 d Cumplirá que: d2 = 62 + 82 Luego, d2 = 36 + 64 = 100 d = 10

es perpendicular a la base y Teorema de Pitágoras 12 Cálculo de la altura de un triángulo isósceles Tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales 8 cm, y el otro 6 cm. ¿Cuánto mide su altura? La altura es un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 8 cm y el otro cateto 3 cm. Como se sabe, la altura es perpendicular a la base y la divide en dos partes iguales 8 8 Cumplirá que: 82 = 32 + h2 h Luego, 64 = 9 + h2 h2 = 64 – 9 =55 3 3 6

es perpendicular a la base y Teorema de Pitágoras 12 Cálculo de la altura de un triángulo equilátero Tenemos un triángulo equilátero cuyos lados iguales miden 10 cm cada uno. ¿Cuánto mide su altura? La altura es un cateto de un triángulo rectángulo cuyo hipotenusa miden 10 cm y el otro cateto 5 cm. Como se sabe, la altura es perpendicular a la base y la divide en dos partes iguales Cumplirá que: 102 = 52 + h2 10 10 Luego, 100 = 25 + h2 h h2 = 75 h2 = 100 - 25 5 5 10

Teorema de Pitágoras 12 Cálculo del lado de un rombo Tenemos un rombo cuyas diagonales miden 16 cm y 12 cm, respectivamente. ¿Cuánto mide su lado? Las diagonales del rombo son perpendiculares y lo dividen en cuatro triángulos rectángulos iguales Las dos medias diagonales, de 8 cm y 6 cm, son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es lado del rombo. a 8 16 6 Cumplirá que: a2 = 82 + 62 a2 = 100 a2 = 64 + 36 12

Teorema de Pitágoras 12 Cálculo de una diagonal de un rombo Tenemos un rombo cuya diagonal mayor mide 24 cm y su lado mide 15 cm, . ¿Cuánto mide la otra diagonal? La medias diagonal de 12 cm y el lado de 15 cm, son el catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Las diagonales del rombo son perpendiculares y lo dividen en cuatro triángulos rectángulos iguales 15 12 24 Cumplirá que: 152 = 122 + c2 c 225 = 144 + c2 c2 = 81 c2 = 225 - 144 d La diagonal menor será 9 · 2 = 18 cm

Teorema de Pitágoras 13 Cálculo de la apotema de un hexágono regular Tenemos un hexágono regular de lado 6 cm. ¿Cuánto mide su apotema? Recuerda: 1. La apotema es la medida desde el centro del hexágono a la mitad de un lado. 2. En un hexágono regular la distancia del centro a cualquiera de los vértices es igual al lado. 6 Luego, la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa 6 cm y otro cateto 3. 3 3 Cumplirá que: 62 = a2 + 32 a2 = 36 - 9 = 27