Puntos de corte con los ejes Consideramos la función f(x) =x3-2x2-x+2 Con el eje OX Resolvemos la ecuación x3-2x2-x+2=0 { x=-1 x=1 x=2 Puntos de cortes (-1,0) (1,0) (2,0) Con el eje OY f(0)=2 Calculamos f(0) Punto de corte (0,2)

Simetrías axiales: Funciones pares Consideramos la función f(x) = x4-2x2 x=0 La función es simétrica respecto del eje Y. d -x x Por tanto, f(-x) = (-x)4-2(-x)2 = x4-2x2 = f(x) Una función que presenta este tipo de simetría se denomina función par.

Simetrías centrales: Funciones impares Consideramos la función f(x) = x3-x La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. -x x Por tanto, f(-x) = (-x)3-(-x) = -x3+x = -f(x) d Una función que presenta este tipo de simetría se denomina función impar.

Funciones polinómicas Se llama función polinómica a las funciones f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao donde an, an-1, ..., ao son números reales, n es un número natural, y an  0. En este caso se dice que tenemos una función polinómica de grado n. Las funciones f(x) = xn para n = 1, 2, 3, ..... Dominio Recorrido Recorrido Dominio f(x) = x4 f(x) = x2 f(x) = x3 f(x) = x5

Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales. Recorrido: R Recorrido: R (0, b): ordenada en el origen (0, b): ordenada en el origen Dominio: R Dominio: R f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0 Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes de dos valores distintos de la variable independiente.

Funciones cuadráticas Son funciones de la forma y = ax2 + bx + c, donde a  0, b, c  R Funciones y = ax2 para diferentes valores de a: Son parábolas Dominio: R Si a > 0: Recorrido = [0, ) Si a < 0: Recorrido = (–, 0] a =2 a =1 a = 0,5 a = – 2 a = – 1 a = – 0,5

Representación gráfica de funciones cuadráticas f(x) = ax2 + bx + c, a0 es una parábola V a > 0 a < 0 V

Gráficas de funciones: monotonía y curvatura Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax2 + bx + c (I) a > 0 convexa ramas hacia arriba mínimo en el vértice a < 0 cóncava ramas hacia abajo máximo en el vértice Coordenadas del vértice: (–b/(2a), f(–b/(2a)) Eje de simetría: x = –b/(2a)

Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax2 + bx + c (II) Gráficas de funciones: monotonía y curvatura Funciones polinómicas de segundo grado: f(x) = ax2 + bx + c (II) b2 – 4ac < 0  no corta al eje OX Punto de corte con el eje OY: (0, c) b2 – 4ac > 0  corta al eje OX en dos puntos b2 – 4ac = 0  corta al eje OX en un punto

Representación gráfica de algunas funciones polinómicas Grado 3 Grado 4 Grado 5 Grado 6

Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (I) Tipo 1: punto de inflexión cóncavo–convexo a > 0 I Sin máximos ni mínimos relativos y un solo punto de inflexión. Cortan al eje OX en un solo punto y al eje OY en un solo punto. I Tipo 2: punto de inflexión convexo–cóncavo a < 0

Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (II) Tipo 3: Máximo–mínimo I m Con un máximo y un mínimo relativos y un solo punto de inflexión. Cortan al eje OY en un solo punto. Pueden cortar al eje OX en 3, 2 ó 1 punto. M I a < 0 Tipo 4: Mínimo–máximo m

Funciones polinómicas de tercer grado: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (II) Tipo 3: Máximo–mínimo I Con un máximo y un mínimo relativos y un solo punto de inflexión. Cortan al eje OY en un solo punto. Pueden cortar al eje OX en 3, 2 ó 1 punto. m M I a < 0 Tipo 4: Mínimo–máximo m

Funciones racionales Una función racional es una función cociente de dos funciones polinómicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios. x - 1 – 1 + – 1 + x + 1 – – + Dominio: conjunto de todos los números reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuación Q(x) = 0. f(x) + – + Las asíntotas de la función f(x) = 1/(x2 - 1) y los cambios de signo en su dominio.

Gráficas de algunas funciones Es una hipérbola Dom (f) = R - {0} Rec(f) = R - {0} Dom (f) = [0, +) Rec(f) = [0, +) Final

Gráficas de algunas funciones irracionales Dom (f) = R Rec(f) = R Final

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Función valor absoluto Dom (f) = R Rec (f) = [0, +) - x si x  0 x si x >0 X Y Final

Función parte entera y = [ x ] Dom (f) = R Rec (f) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ....} X Y 1 3 2 -1 -2 Final

Funciones exponenciales Una función exponencial es una función de la forma f(x) = ax, siendo x la variable y a un número real. Dominio: R. Recorrido: (0, ) Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1). f(x) = ex f(x) = e– x = (1/e)x f(x) = 2x f(x) = 2– x = (1/2)x 0 < a < 1 a > 1

Funciones logarítmicas Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = loga x, siendo x la variable y a un número real mayor que 0 y distinto de 1. Dominio: (0, ). Recorrido: R Las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0). Es inversa de la exponencial: sus gráficas son simétrica respecto y = x. f(x) = ax f(x) = ax f(x) = loga x f(x) = loga x 0 < a < 1 a > 1

Función logarítmica con la base mayor que 1

Función logarítmica con la base comprendida entre 0 y 1

Función periódica 1 2 3 10,15 10,30 10,45 11 11,15 10,35 11,45 período = T período = T x + T x Una función f(x) es periódica de período T si existe un número real T  0, llamado período, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio.

La función mantisa, f(x) = x – [x], es periódica de periodo 1. La función mantisa hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera. f(x) = x – [x] La función mantisa, f(x) = x – [x], es periódica de periodo 1.

ALGUNAS GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: Propiedades de las funciones trigonométricas Las funciones seno, coseno y tangente son periódicas, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2π y el de la función tangente es π . Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente). Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada. Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen(-x)=-sen x; tan(-x)=-tan x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos(-x)=cos x.

-3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p y = 1 Función seno -3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p y = 1 y = –1 Propiedades de la función seno: Su dominio que es R. Su recorrido es el intervalo [–1, 1]. Es periódica de período 2π. Es una función impar: sen (– x ) = sen x.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN SENO

-3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p Función coseno -3p -5p/2 -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p 5p/2 3p y = 1 y = –1 y = sen x y = cos x Propiedades de la función coseno: Su dominio es R. Su recorrido es el intervalo [–1, 1]. Es periódica de período 2π. Es una función par: cos (– x ) = cos x.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN SENO

Propiedades de la función tangente: -2p -3p/2 -p -p/2 0 p/2 p 3p/2 2p Propiedades de la función tangente: Su dominio es R – {p/2 + kp: k Z}. Su recorrido es toda la recta real. Es periódica de período p. Las recta x = p/2 + kp, k Z son asíntotas verticales. Es una función impar: tan (– x ) = – tan x.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN TANGENTE

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Su dominio es toda x ≠ ±nπ. FUNCIÓN COTANGENTE CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Su dominio es toda x ≠ ±nπ. Su imagen es el conjunto de todos los números reales. No corta al eje OY. Corta al eje OX en x = π/2±nπ. Las asíntotas son x = ±nπ. Su periodo es π.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Dominio: R − {x = kπ, k Є Z} Imagen: R Paridad: ctg x = - ctg(-x) [función impar] Periodo: π Corta al eje OX en x = (k+1)π/2, k Є Z No corta al eje OY Las asíntotas son x = kπ/2, k Є Z

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : FUNCIÓN SECANTE CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Su dominio: R − {(2k+1)π/2, k Є Z } Su imagen es (- ∞,1] U [1, + ∞) Corta al eje OY en el punto (0,1). No corta al eje OX Puntos máximos: ((2k+1)π, -1) k Є Z Puntos mínimos: ((2kπ,, 1). k Є Z Las asíntotas son x =( 2k+1)π/2, k Є Z Su periodo es 2π.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA : Su dominio: R − {(kπ, k Є Z } Su imagen es (- ∞,1] U [1, + ∞) No corta ni al eje OY ni al OX Puntos máximos: ((2k+1)π/2, -1) k Є Z Puntos mínimos: ((2k-1)π/2,, 1). k Є Z Las asíntotas son x = kπ, k Є Z Su periodo es 2π.

Propiedades de la función arco seno: Su dominio es [–1, 1]. La función sen x es inyectiva en [–p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arcsen x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x. y = arcsen x p/2 1 y = sen x –p/2 –1 1 p/2 – 1 y = x – p/2 Propiedades de la función arco seno: Su dominio es [–1, 1]. Su recorrido es el intervalo [–p/2, p/2].

Propiedades de la función arco tangente La función tan x es inyectiva en [p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arctan x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y = x. y = tan x p/2 p/2 p/2 y = arctan x p/2 y = x Propiedades de la función arco tangente Su dominio: R. Su recorrido es el intervalo [p/2, p/2].

TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES La siguiente tabla resume las reglas básicas que se deben seguir para efectuar transformaciones a una gráfica que se represente por medio de una fórmula o ecuación.

Trasladamos la gráfica de y = f(x), 2 unidades hacia arriba Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable dependiente Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces la función y =f(x)+a pasa por el punto (xo, yo+a). La gráfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a unidades hacia la arriba (abajo) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0) Trasladamos la gráfica de y = f(x), 2 unidades hacia arriba Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(x)+2 Final

Trasladamos la gráfica de y = f(x) 2 unidades a la izquierda Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable independiente Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo, yo) entonces la función y =f(x+a) pasa por el punto (xo - a, yo). La gráfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la izquierda (derecha) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0) Trasladamos la gráfica de y = f(x) 2 unidades a la izquierda Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(x+2) Final

Se dilata la gráfica verticalmente al doble Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable dependiente Si y = f(x) pasa por (xo,yo) entonces y = af(x) pasa por (xo, ayo). Por ello para a>1 esta transformación dilata verticalmente la gráfica, y para 0 < a < 1 la contrae verticalmente Se dilata la gráfica verticalmente al doble Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = 2f(x) Final

Gráficas de f(x) y de - f(x) (I) Conocida la gráfica de y = f(x), la gráfica de g(x) = - f(x) es simétrica respecto al eje de abcisas, ya que los puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x)) son simétricos respecto a este eje Gráficas de f(x) y de - f(x) (I) Se simetriza la gráfica respecto al eje OX Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = - f(x) Final

Se contrae la gráfica horizontalmente a la mitad Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable independiente Si la función y = f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces y = f(ax) pasa por el punto (xo/a, yo). Si a > 1 la gráfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1 la gráfica se dilata horizontalmente Se contrae la gráfica horizontalmente a la mitad Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(2x) Final

Gráficas de f(x) y de f(-x) Las gráficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son simétricas respecto al eje de ordenadas ya que los puntos (x, f(x)) y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simétricos respecto a este eje Gráficas de f(x) y de f(-x) Se simetriza la gráfica respecto al eje OY Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(-x) Final