DERIVADAS PARCIALES Gráficas

DERIVADAS PARCIALES Curvas de Nivel

DERIVADAS PARCIALES [X Y] = meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5); Z = 4*X.^2+Y.^2; [c,h] = contour(Z); clabel(c,h), colorbar

DERIVADAS PARCIALES Funciones de tres o más variables Una función lineal de n variables se puede escribir como: En vista de la correspondencia uno a uno entre puntos (x1,x2,…,xn) en Rn y sus vectores de posición <x1,x2,…,xn> en Vn se tienen tres formas de ver una función en Rn: Como una función de n variables reales x1,x2,…,xn. Como una función de una sola variable puntual (x1,x2,…,xn) . Como una función de una variable vectorial única x= <x1,x2,…,xn>.

DERIVADAS PARCIALES LÍMITES Para funciones de dos o más variables ver el límite de una función no es tan fácil, ya que se puede hacer que (x,y) tienda a (a,b) desde un número infinito de direcciones siempre que (x,y) permanezca dentro el dominio de f. Si f(x,y)→L1 cuando (x,y) →(a,b) a lo largo de una trayectoria C1 y Si f(x,y)→L2 cuando (x,y) →(a,b) en la trayectoria C2, donde L1 ≠ L2, entonces no existe

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DERIVADAS PARCIALES Veamos el comportamiento numérico de las siguientes funciones:

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DERIVADAS PARCIALES Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D contiene, entre otros, puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces, el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es L, lo que se escribe si para todo número ε > 0 hay un número correspondiente δ > 0 tal que Si y entonces Otras nomenclaturas son:

DERIVADAS PARCIALES Resolviendo el ejemplo 4: Demos ε > 0 y busquemos una δ tal que si → → Pero x2 ≤ x2+y2 ya que y2 ≥ 0, así que x2/(x2+y2) ≤ 1, y por lo tanto Si escogemos δ=ε/3 y hacemos que , entonces Y por la definición de límite, tenemos

DERIVADAS PARCIALES CONTINUIDAD Definición: Una función f de dos variables es continua en (a,b) si Decimos que f es continua en D si f es continua en cada punto (a,b) en D. Usando algunas propiedades de los límites en una variable, se puede ver que la suma, diferencia, producto y cociente de funciones continuas son continuas en su dominio. En particular las siguientes ecuaciones son verdaderas y útiles: Ejemplos: polinomios funciones racionales

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DERIVADAS PARCIALES Interpretación Geométrica de Derivadas Parciales Gráficas del ejemplo 2

DERIVADAS PARCIALES Gráficas del ejemplo 2

DERIVADAS PARCIALES Gráficas del ejemplo 6

DERIVADAS PARCIALES Planos Tangentes

DERIVADAS PARCIALES Aproximaciones Lineales

DERIVADAS PARCIALES Función no diferenciable en (0,0)

DERIVADAS PARCIALES Diferenciales

DERIVADAS PARCIALES La regla de la Cadena Caso I: Suponga que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y y, donde x = g(t) y y = h(t) son ambas funciones diferenciables de t. Entonces z es una función diferenciable de t. Caso II: Suponga que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y y, donde x = g(s,t) y y = h(s,t) son ambas funciones diferenciables de s y t. Entonces z es una función diferenciable de s y t.

DERIVADAS PARCIALES La regla de la Cadena: versión general Suponga que u es una función diferenciable de las n variables x1, x2,…, xn y que cada xj es una función diferenciables delas m variables t1, t2,…,tm. Entonces u es una función diferenciable de t1, t2, …, tm.

DERIVADAS PARCIALES Derivación Implícita Suponga una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y en forma implícita como una función diferenciable de x, es decir, y =f(x), donde F(x,f(x))=0 para toda x en el dominio de f. Si F es diferenciable se aplica la regla de la cadena a ambos lados y se obtiene: Peros dx/dx = 1, de este modo si ∂F/ ∂y≠0 se obtiene

DERIVADAS PARCIALES En el caso de z =f(x,y), se tiene la ecuación F(x,y,z)=0. Esto quiere decir que F(x,y,f(x,y))=0 y la regla de la cadena para esta ecuación es pero entonces Siempre que ∂F/∂z≠0

DERIVADAS PARCIALES Derivadas direccionales y su vector gradiente Derivas parciales en la dirección en x y y. Derivas parciales en la dirección de u.

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DERIVADAS PARCIALES Maximización de la derivada direccional Teorema: Suponga que f es una función diferenciable de dos o tres variables. El valor máximo de la derivada direccional Duf(x) es y se presenta cuando u tiene la misma dirección que el vector gradiente Demostración: El valor máximo de cos θ es 1 y sucede cuando θ=0. Por lo tanto, el valor máximo de Duf(x) es y se presenta cuando θ=0, es decir cuando u tiene la misma dirección de .

DERIVADAS PARCIALES Planos tangentes a superficies de nivel Suponga que S es una superficie cuya ecuación es F(x,y,z) = k, es decir una superficie de nivel de una función F de tres variables, y sea P(x0,y0,z0) un punto en S. Sea C una curva que queda en la superficie de S y pasa por el punto P. Recuerde que la curva C se describe mediante una función vectorial r(t) = <x(t),y(t),z(t)>. Sea t0 el valor del parámetro que corresponde a P; es decir r(t0) = <x0,y0,z0>. Puesto que C está en S, cualquier punto (x(t),y(t),z(t)) debe cumplir con la ecuación de S, es decir Si x,y,z son funciones diferenciables de t y F es también diferenciable, entonces se aplica la regla de la cadena para derivar ambos miembros de la anterior ecuación, dando:

DERIVADAS PARCIALES Pero como entonces se puede escribir En particular, cuando t = t0 se tiene de modo que Esta ecuación establece que el vector gradiente en P, es perpendicular al vector tangente a cualquier curva C en S que pasa por P. Si es por lo tanto natural definir el plano tangente a la superficie de nivel en como el plano que pasa por P y tiene vector normal Por lo que se puede escribir la ecuación del plano tangente

DERIVADAS PARCIALES La recta normal a S en P es la recta que pasa por P y es perpendicular al plano tangente. La dirección de la recta normal está definida por lo tanto por el vector gradiente y por lo tanto sus ecuaciones simétricas son En el caso especial en el cual la ecuación de la superficie S sea de la forma z =f(x,y); es decir , S es la gráfica de una función f de dos variables, puede volverse a escribir la ecuación como y considerar a S como una superficie de nivel F con k = 0. Entonces y su ecuación del plano sería

DERIVADAS PARCIALES Importancia del vector tangente Considere una función de tres variables y un punto en su dominio: El vector indica la dirección del incremento más rápido en f. Se sabe que es ortogonal a la superficie de nivel S que pasa por P. De manera similar para una función de dos variables y un punto : Se sabe que es perpendicular a la curva de nivel que pasa por P.

DERIVADAS PARCIALES Campo de gradiente de la función Curvas de nivel

DERIVADAS PARCIALES Valores máximos y mínimos Una función de dos variables tiene un máximo relativo en (a,b) si f(x,y) ≤ f(a,b) cuando (x,y) está cerca de (a,b). El número f(a,b) recibe el nombre de valor máximo relativo. Si f(x,y) ≥ f(a,b) cuando (x,y) está cerac de (a,b), entonces f(a,b) es un mínimo relativo en (a,b) y f(a,b) es un valor mínimo relativo. Teorema: Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden existen allí, entonces fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0.

DERIVADAS PARCIALES Valores máximos y mínimos Prueba de la segunda derivada. Suponga que las segundas derivadas parciales de f son continuas en un disco de centro (a,b), y suponga que fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0, es decir f(a,b) es un punto crítico de f. Sea Si D > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) es un mínimo relativo. Si D > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) es un máximo relativo. Si D < 0, entonces f(a,b) no es ni un máximo relativo ni un mínimo relativo.

DERIVADAS PARCIALES Nota 1: En el caso de c) el punto (a,b) se llama punto de silla de f y la gráfica de f cruza el plano tangente en (a,b). Nota 2: Si D = 0, la prueba no proporciona información: f podría tener en (a,b) un máximo relativo o un mínimo relativo o podría ser un punto de silla. Nota 3: Para recordar la fórmula de D es útil escribirla como como un determinante

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DERIVADAS PARCIALES Valores máximos y mínimos absolutos Un conjunto cerrado en R2 es aquel que contiene todos los puntos límite o frontera. (Un punto límite de D es un punto (a,b) tal que todo disco centrado en (a,b) contiene puntos en D y también puntos que no están en D). Un conjunto acotado en R2 es aquel que está contenido dentro de un disco. En otras palabras su extensión es finita. Teorema del valor extremo para funciones de dos variables. Si f es continua en un conjunto D cerrado y acotado en R2, entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(x1,y1) y un valor mínimo absoluto f(x2,y2) en algunos punto (x1,y1) y (x2,y2).

DERIVADAS PARCIALES Para encontrar los máximos y mínimos absolutos de una función continua f en un conjunto D cerrado y acotado: Encontrar los valores críticos de f en D. Encontrar los valores extremos de f en los límites de D. El valor más grande de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más pequeño de estos valores es el mínimo absoluto. Revisar prueba del teorema de la prueba de la segunda derivada

DERIVADAS PARCIALES Multiplicadores de Lagrange Para calcular los valores extremos de f(x,y) sujeta a una restricción g(x,y)=k, es decir, buscar los valores extremos de f(x,y) cuando el punto (x,y) está restringido a quedar en la curva de nivel g(x,y) = k. Lo anterior sucede cuando las curvas de nivel se tocan, es decir cuando tienen una recta tangente común en el punto (x0,y0), lo que representa que las rectas normales en el punto (x0,y0) son paralelas : para un escalar λ. Revisar multiplicadores de Lagrange para dos restricciones.

DERIVADAS PARCIALES Método de los multiplicadores de Lagrange: Para determinar los valores máximos y mínimos de f(x,y,z) sujeta a la restricción g(x,y,z) = k [suponiendo que estos valores existan y que se encuentra en la superficie g(x,y,z) = k]: Determinar los valores de x,y,z y λ tal que Evalúe f en todos los punto (x,y,z) que resulten de a). El más grande de estos valores es el valor máximo de f; el más pequeño es el valor mínimo de f.

DERIVADAS PARCIALES Maximizar V (f(x,y,z)) sujeto a la restricción 2xz+2yz+xy=12 (g(x,y,z)=k). Se tienen 4 ecuaciones con 4 incógnitas: x, y, z, λ.

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DERIVADAS PARCIALES Dos restricciones