LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Definición intuitiva de límite. Consideremos la función El dominio es Df = R \ {1} Evalúa la función en los números dados y explica el comportamiento. X 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999 y X 2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001 y

En el primer cuadro, ¿a qué número se aproxima x? En el mismo cuadro, ¿a qué valor se aproxima “y”? Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la izquierda, el valor de y= f(x) tiende a 2. En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima x? En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima “y”? Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la derecha, el valor de “y” tiende a 2. ¿Crees que si aproximamos todavía más los valores de x al valor dado, los valores de y se aproximen más al valor observado?

Concepto de límite SI f(x) SE ACERCA ARBITRARIAMENTE A UN NÚMERO L, CONFORME x SE APROXIMA A UN NÚMERO a TANTO POR LA IZQUIERDA COMO POR LA DERECHA, ENTONCES “EL LÍMITE DE f(x) CUANDO x TIENDE A a ES L”, LO CUAL SE DENOTA COMO:

Ejemplo: Sea la función Hallar X 2 y Por lo tanto 1.8 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.2 y

o

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

Se quiere fabricar placas de acero de 8cm x 8cm. Es decir, de 64 cm2 de superficie. En la realidad, resulta imposible fabricar placas con 64 cm2 de superficie, siempre se elabora con cierta aproximación, o sea, que cumpla las especificaciones dentro de la tolerancia.

Para cualquier medida de los lados de la placa: A (L) = L2 Si consideramos las siguientes tolerancias: A (L) = 64 ±0.75 esto implica que 63.25< A (L) <64.75 A (L) = 64 ±0.50 63.5 < A (L) <64.5 A (L) = 64 ±0.25 63.75< A (L) <64.25 A (L) = 64 ±0.125 63.875< A (L) <64.125 A (L) = 64 ±0.1 63.9< A (L) <64.1 Se debe encontrar un intervalo para L de tal manera que A ( L) esté dentro del intervalo de tolerancia. Tolerancia de menos Tolerancia de más Tolerancia de menos Tolerancia de más L L A(L) A(L) 8 64

Por la definición intuitiva de límite: Es decir: Si 7.96 < L < 8.04 → 63.25 < A (L) <64.75 ¡cumple! Si 7.97 < L < 8.03 → 63.5 < A (L) <64.5 ¡cumple! Si 7.99 < L < 8.01 → 63.75 < A (L) <64.25 ¡cumple! Si se quiere más precisión de A (L), significa que L debe estar lo más cercano posible a 8. O sea, existe una pequeña diferencia de A (L) con 64, análogamente, existe también una pequeña diferencia de L con 8. Por la definición intuitiva de límite:

– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε Si esas pequeñas diferencias que existen de L con 8 y de A (L) con 64 les llamamos δ(delta) y ε(épsilon) respectivamente, tendríamos: 8 – δ < L< 8 + δ ↔ 64 - ε < A (L) < 64 + ε ↔ Significa si y sólo si. También se puede escribir como: – δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε Lo anterior quiere decir que si L se encuentra en el intervalo (8- δ, 8+ δ), entonces A (L) se encuentra en el intervalo abierto (64- ε, 64+ ε)

– δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε x f (x) a – δ a + δ L – ε L + ε Por propiedades del valor absoluto, las desigualdades: – δ < L - 8 < δ ↔ - ε < A (L) - 64 < ε Se pueden escribir como: Como el valor de L se aproxima a 8 sin llegar a ser 8, entonces L – 8 ≠ 0 y por lo tanto

De lo anterior: Ahora, generalizando para cualquier función f (x) cuando x → a, tenemos:

Definición formal de límite. Consideremos un intervalo abierto que contenga al número a. Sea f una función definida en todos los números del intervalo excepto posiblemente en a y sea L un número real. Entonces: Significa que para todo ε > 0 existe una δ > 0 tal que: Si 0 < | x – a | < δ, entonces | f (x) – L | < ε

Interpretación geométrica: L + ε ε L ε L - ε δ δ a a - δ a - δ

1. Sea la función f definida por f (x) = 4x – 7. Suponiendo que Ejemplo: 1. Sea la función f definida por f (x) = 4x – 7. Suponiendo que a) Utilizando una figura, para ε = 0.01, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01 b) Usando las propiedades de las desigualdades, determinar una δ > 0 tal que si 0 < | x – 3 | < δ entonces | f (x) – 5 | < 0.01 Solución: f (x) =4 x - 7 5.01 4.99 5 3 x1 x2

Solución a) 4 x1 - 7 = 4.99 4 x2 – 7 = 5.01 Como 3 – 2.9975 = 0.0025 Y 3.0025 – 3 = 0.0025 Se elige δ = 0.0025, de tal forma que 0 < | x-3| < 0.0025 entonces | f (x) – 5 | < 0.01 Lo cual es verdadero.

Solución b) Para toda ε > 0 y δ > 0, se debe cumplir que: Donde a = 3, L = 5 y f (x) = 4 x – 7, ε = 0.01 Entonces: 0 < | x - 3 | < δ si y sólo si | (4x – 7) - 5 | < 0.01 Tomando la segunda ecuación: | (4x – 7) - 5 | < 0.01 | 4x – 7 - 5 | < 0.01 | 4x – 12 | < 0.01 | 4 (x – 3 ) | < 0.01 | 4 | | x – 3 | < 0.01 4 | x – 3 | < 0.01

Si tomamos entonces: 0 < |x - 3 | < δ si y solamente si | (4x – 7) - 3 | < ε es verdadero! Puesto que: 0 < | x - 3 | < 0.0025 4 | x - 3 | < 4 ( 0.0025 ) | 4 (x – 3) | < 0.01 | 4x - 12 | < 0.01 | ( 4x – 7) - 5 | < 0.01 | f (x) - 5 | < 0.01 QUEDA DEMOSTRADO!

Límites de funciones Analicemos la función: La función está definida para toda x diferente de 1. Podemos simplificar la función de la siguiente manera: x  1 x y 1 –1 y = x + 1 2 x y 1 –1 2

Valores de x menores y mayores 1que 1 0.9 1.1 0.99 1.01 0.999 1.001 0.999999 1.000001 1.9 2.1 1.99 2.01 1.999 2.001 1.999999 2.000001 x  1 Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.

Funciones sin límite en un punto Oscila demasiado La función salta x Crece demasiado

Límites por un lado y bilaterales Una función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales: Limx  c f (x) = L  Limx  c– f (x) = L y Limx  c+ f (x) = L

Ejercicio Encontrar y y = g(x) 1 1 2 3 x

Aplicación práctica de Límites ¿Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de un milímetro de ancho? Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen es V = p62h = 36ph ¿Con qué precisión se debe medir h para medir 1 L(1000 cm3) con un error no mayor de 1% (10 cm3)? r = 6 cm Para que valores de h se satisface | V – 1000 | = | 36ph – 1000 |  10 | 36ph – 1000 |  10 –10  36ph – 1000  10 990  36ph  1010 990 /36p  h  1010 /36p 8.8  h  8.9 8.9 – 8.8 = 0.1 cm = 1mm h

Reglas para calcular límites Teorema #1 Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son números reales) 1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M 2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M 3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M 4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL por una constante 5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M  0 6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n

Límites de Polinomios Teorema #2 Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0 Teorema #3 Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero. Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c)  0, entonces limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)

Eliminación de denominador cero Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.

Teorema del emparedado supóngase que g(x)  f(x)  h(x) para toda x en algín intervalo abierto que contenga a c, excepto posiblemente en x = c. Supóngase tambien que Entonces y h f L g x c

ejemplos

Límites infinitos Si el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo. Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.

y = 1/(x – 1) y x

y = 1/x² y x

y = 1/(x + 3)² y x

LÍMITES AL INFINITO En una función “f” de variable real “x”, pudiera pasar que la variable independiente tienda al infinito y aún así el límite de la función existe y es un número L, es decir: Lim f(x)= L x→∞ Determine : Lim 2x-1/x+2 x→∞

Continuidad Continuidad en un punto Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si

Ejemplos y y = f(x) y = f(x) 1 1 x x y y 2 y = f(x) 1 y = f(x) 1 x x

Criterio de continuidad Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres condiciones siguientes: 1. f(c) existe (c está en el dominio de f) 2. Limx c f(x) existe (f tiene un límite cuando xc) 3. Limx c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)

Reglas de continuidad Teorema 6 Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son continuas en: 1. f + g y f – g 2. f g 3. kf, donde k es cualquier número 4. f/g (si g(c) ≠ 0) 5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son enteros)

Continuidad de polinomios Teorema 7 Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero. Ejemplo: Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2. La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx0| x | = 0.

Continuidad de la composición Teorema 8 Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en c. f g g ° f f (c) g(f (c)) Continua en c Continua en f(c)