Proyecto de Matemáticas: Funciones Presentado por: Jonathan Guberek Daniel Croitoru Mark Guberek Presentado a: Patricia Caceres COLEGIO COLOMBO HEBREO AREA DE MATEMATICA Bogota D.C Mayo 2010

GENERALIDADES Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha. No es una función cuando: De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. Una función se puede representar tanto de forma visual, algebráica, numérica y verbal.

Punto de corte con Y Para hallar el punto de corte con Y, se debe reemplazar en la ecuación a X por 0 y se resuelve la ecuacion. Punto de corte con X Para hallarlo se iguala la funcion a 0 y se resuelve la ecuación. Dominio El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen. Es el conjunto de salida. Rango Se denomina rango a todos los elementos del conjunto de llegada que tienen relacion con algun elemento del conjunto de salida

Función Inyectiva En este tipo de función se cumple la condición de que cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B. De tal manera que en el conjunto A no pueden haber dos o mas elementos con la misma imágen.

Función Sobreyectiva Es el tipo de función que cumple la condición de que cada elemento de conjunto de llegadaes la imagen de mínimo un elemento de conjunto de salida.

Función Biyectiva Función expresada cuando se cumple que es a la vez Sobreyectiva e Inyectiva. Cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función Inyectiva y que todos los elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la característica de la Sobreyectiva.

Función Par Es un tipo de función que satisface o que cumple la condición de que f(x)=f(-X) Podría ser una función cuadrática o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c . Un ejemplo de esta sería: f(x) = x4 + 2 ejemplo

f(x) = x4 + 2 corte con y 2 minimo relativo (0,2) eje de simetria x=0 d=reales r= (2,00) cs= reales cll reales

Función Impar Función en la que todo x perteneciente al dominio Podría ser una función cubicao Polinómica de grado impar incompleta que solo tiene a. Un ejemplo de esta sería: f(x) = x3 ejemplo

f(x) = x3 d= reales r=reales cs=reales cll=reales corte con x= 0 corte con y=0

Función Polinomica. Función de Grado impar. Función de Grado par. Constante. Función lineal. Función Cuadrática. Función Cubica. MAPA GENERAL

Funciones Lineales Generalidades Lineal Afín Constante Idéntica MAPA GENERAL Mapa lineales

Función lineal Generalidades Y= variable dependiente X= variable independiente M=pendiente (grado de inclinación de la recta con respecto al eje horizontal) B= punto de corte con el eje y. Dominio=reales Conjunto de Salida= Reales Rango=Reales(con excepción a la función constante) Conjunto de llegada= Reales continuación

Si , m > 0 la función es creciente. Si m < 0 la función es decreciente. Si m=0 la función es constante (recta horizontal). Ecuación para hallar la pendiente: Mapa lineales

Ejemplo Función lineal Afín Es una función cuya ecuación matemática viene dada por: Y=mx+b Donde b es una constante que determina el punto de corte con Y, y hace el desplazamiento vertical. El punto de corte con y es distinto a 0 Ejemplo

EJEMPLO Y=5x+5 Dominio: Reales Rango: Reales corte con x= -1 Conjunto Salida: Reales corte con y= 5 Conjunto llegada: Reales Pendiente=5 Mapa lineales

Ejemplo Función lineal Es una función cuya ecuación matemática es: Y=mx Su corte con y siempre va a ser 0 puesto que no tiene un desplazamiento vertical . Ejemplo

EJEMPLO Y=5x Dominio=Reales Conjunto Salida= Reales Rango= Reales Conjunto Llegada= Reales Corte con x= 0 Corte con y=0 Mapa lineales

Función lineal idéntica Es una función expresada con la fórmula: Y=x Donde y adquiere el mismo valor que x. La pendiente es igual a 1. Ejemplo

EJEMPLO Mapa lineales Dominio=Reales Rango=Reales CS=Reales CLL=Reales Corte con x=0 Corte con y=0 Mapa lineales

Función lineal constante Y=a Siendo a cualquier número. No tiene una pendiente por lo que su rango siempre va a ser a. Su corte con y es igual al a. Ejemplo

EJEMPLO Mapa lineales Y=4 Dominio=Reales Conjunto Salida=Reales corte con y=4 Rango={4} Conjunto Llegada=Reales Mapa lineales

Función Polinómica Generalidades Según su grado se pueden clasificar como: Grado Nombre Expresión función constante y = a 1 función lineal y = ax + b (Binomio, 1er Grado) 2 función cuadrática y = ax² + bx + c (Trinomio, 3er Grado) 3 función cúbica Dominio= Conjunto de Salida= R Conjunto de llegada=R

Función Polinómica cuadrática Es una función que se define mediante un polinomio de segundo grado. Esto quiere decir con un elemento elevado al cuadrado como máximo exponente. Donde a no se puede ser igual a 0 Continuación

Su representación gráfica, representaría una parábola vertical Siendo a negativo, estaría hacia abajo. Siendo a positivo, estaría hacia arriba. Corte con el eje Y, al reemplazar las x por 0 Corte con el eje X, al reemplazar la f(x) o Y por 0. El máximo relativo o mínimo relativo en x se obtiene por Luego para saber cuanto es en Y , se reemplaza el resultado por y en la ecuación Continuacion

Con a negativo y parábola hacia abajo habría, un máximo relativo Con a positivo y parábola hacia arriba, habría un mínimo relativo. Tanto el Dominio como el Conjunto de Salida son Reales. El Conjunto de llegada es Reales, mientras el Rango va desde el mínimo relativo hasta infinito o desde menos infinito hasta el maximo relativo ejemplo

Y=x^2+2x+1 corte con y= 1 Cs=reales corte con x=-1 Cll=reales mínimo relativo x=-1 D=reales eje de simetriia x=-1 R=reales positivos Creciente (-1,00) Decreciente (00,-1)

Función Polinómica cúbica Se denomina función cúbica a toda función que le rige la ecuación: Y=ax3+bx2+cx+d Donde a,b,c,d son números reales Es una ecuacion de tercer grado, ya que tiene un maximo elemento elevado a la tres o al cubo ejemplo

Corte con x= -1 Corte con y= 1 Cll= reales Cs= reales D= reales R=reales

ejemplo Función Grado Par Es el tipo de función que se rige según la condición de que: El mayor grado de la función es par Si todos los terminos son de grado par, la funcion es simetrica con respecto al eje X Dominio=cs=reales rango= desde minimo relativo hasta infinito o desde menos infinito hasta maximo relativo Cll= reales Se rigen según la ecuación: ejemplo

Corte con y =2 No tiene corte con x eje de simetria x=0 Vértice (0,2) minimo relativo (0,2) Dominio= reales creciente (0,00) Rango=(2,00) decreciente (-00,0) Cs=reales Cll=reales

Función Grado Impar Es el tipo de función que se rige según la condición de que: El mayor grado de la función es impar Si todos los terminos son de grado impar, la funcion es simetrica con respecto al eje X Dominio=cs=reales rango= desde minimo relativo hasta infinito o desde menos infinito hasta maximo relativo Cll= reales Se rigen según la ecuación:

Funcion Valor absoluto Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a pedazos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4 Representamos la función resultante. ejemplo

Y=|x|

Continuacion Funcion racional La función racional es una función matemática expresada de la forma Dond p , q son polinomios , x es una variable desconocida Q≠0 Continuacion

Continuacion Asintotas Vertical: se reemplaza el parentesis de la ecuacion por 0, y se resuelve. Horizontal: cuando el denominador es 0 Continuacion

Todas las funciones racionales, tienen una asintota vertical y horizontal, es decir, tienen excepciones, estas excepciones son numeros en los ejes "x" e "y" que no se pueden usar para reemplazar la variable "x" en la funcion racional. Todas sus funciones racionales es de clase infinita, es decir, que su grafica, al igual que sus soluciones, no tienen final. ejemplo

Bibliografía http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/05/definicion.html http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_constante http://www.mitecnologico.com/Main/Funciones

Bibliografía http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva http://www.amschool.edu.sv/paes/f8.htm