Francisco Carlos Calderón Transformada de Laplace y filtros analógicos Francisco Carlos Calderón PUJ 2010

Objetivos Definir la transformada de Laplace y estudiar algunas de sus propiedades. Analizar sistemas continuos utilizando la transformada de Laplace. Conocer las características de los principales filtros analógicos. Diseñar filtros analógicos usando MATLAB.

Transformada de Laplace Sea la entrada a un SLIT, su salida está dada por: Por lo tanto si la entrada al SLIT es una exponencial compleja , se puede reemplazar esta expresión en la ecuación de convolución y de esa forma se obtendría que:

Transformada de Laplace Simplificando:

Transformada de Laplace Esta integral se define como la trasformada de Laplace de h(t). De forma más general, la trasformada de Laplace de una señal x(t) se define como:

Transformada de Laplace Donde  es la parte real de s y  la parte imaginaria, Al reemplazarla en la integral se obtiene:

Transformada de Laplace La transformada de laplace puede escribirse de la siguiente forma:

Convergencia de la transformada de Laplace Para que la transformada de Laplace converja, es necesario que la Transformada de Fourier de: Converja, por lo tanto la transformada de Laplace posea un intervalo de valores de s para los cuales la transformada converge. Este intervalo de valores se conoce como la ROC (Region of Convergence).

Convergencia de la transformada de Laplace (ROC) Tomando este límite por separado: Hallar X(s) = al separar los exponentes reales de el complejo se obtiene para que el límite converja es necesario que y de esta forma el límite tiene a cero. Así:

Convergencia de la transformada de Laplace (ROC) Hallar X(s) Hallar X(s) ROC = ROC =

Convergencia de la transformada de Laplace (ROC)

Propiedades de la transformada de Laplace Usando la notación: Y sean

Propiedades de la transformada de Laplace Linealidad: Desplazamiento de tiempo: Desplazamiento de s

Propiedades de la transformada de Laplace Conjugación Escalamiento en tiempo: Convolución: * Es el operador convolución

Propiedades de la transformada de Laplace Diferenciación en tiempo y s Integración en t

Propiedades de la transformada de Laplace Teorema del valor inicial y final: Si x(t)=0 para t<0

Propiedades de la ROC La Roc posee ciertas propiedades que ayudan en el análisis y definición de la misma. La ROC de X(s) consiste en bandas paralelas al eje j en el plano s. La ROC no contiene ningún polo. Si x(t) es de duración finita y absolutamente integrable, entonces la ROC es el plano s completo. Ejemplo: ROC = Todo el plano S IV) Si x(t) es derecha y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de s para los cuales Re{s] > 0 también estarán en la ROC. , entonces , con ROC .

Propiedades de la ROC v) Si x(t) es izquierda y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces todos los valores de s para los cuales Re{s] < 0 también estarán en la ROC. , entonces , con ROC VI) Si x(t) es bilateral y si la línea Re{s] = 0 está en la ROC, entonces la ROC consistirá de una banda en el plano S que incluya la línea Re{s] = 0 . VII) Si X(s) es racional, entonces su ROC está limitada por los polos o se extiende al infinito.

Propiedades de la ROC VIII) Si x(t) es derecha, entonces la ROC será la región en el plano S que se encuentra a la derecha del polo localizado más hacia la derecha. IX) Si x(t) es izquierda, entonces la ROC será la región en el plano S que se encuentra a la izquierda del polo localizado más hacia la izquierda.

Referencias Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 5 Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 9 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ Apuntes de clase Prof. Andrés Salguero PUJ