POLINOMIOS: M.C.D. Y M.C.M. FRACCIONES ALGEBRAICAS ECUACIONES ALGEBRAICAS

Primero debemos descomponerlos en sus factores primos: M.C.D. Y M.C.M. DE VARIOS POLINOMIOS Recordemos primero cómo calculamos el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números con un ejemplo: Sean los números 12 y 40 Primero debemos descomponerlos en sus factores primos: 12 = 22 . 3 40 = 23 . 5

Para calcular el m.c.d. multiplicamos 12 = 22 . 3 40 = 23 . 5 Para calcular el m.c.d. multiplicamos los factores comunes elevados al menor exponente m.c.d. (12 , 40) = 22 = 4 Sin embargo para el m.c.m debemos multiplicar los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente m.c.m. (12 , 40) = 23 . 3 . 5 = 120

Para calcular el m. c. d. y el m. c. m Para calcular el m.c.d. y el m.c.m. en el caso de varios polinomios conviene recordar: ¿ Qué son polinomios primos? Factorización de polinomios

Ejemplos de polinomios primos: Son polinomios primos aquellos que sólo son divisibles entre sí mismos y la unidad. Ejemplos de polinomios primos: x x + 1 x - 2 2x + 1 x2 + 1 x4 + 2 En general son primos todos los polinomios de la forma (x – a)

P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) Veamos un ejemplo de factorización: Comenzamos a factorizar siempre haciéndonos las mismas preguntas P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x ¿Podemos sacar factor común? Sí, se repite 3x en todos los monomios que forman P(x). P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) Ahora nos centraremos en factorizar… ¿Es identidad notable? No ¿Es ecuación de segundo grado? No Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini.

P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) = Los divisores del término independiente, 6, son: 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6. Comenzaríamos probando con el 1. 2 -3 -11 +6 -2 1 -4 1 14 -2 -6 -13 Como no da cero borraríamos y probaríamos con otro divisor de 6. 2 1 -7 -2 3 -13 -7 Probaríamos con el -1 y el 2 y comprobaríamos que el resto no es 0. Sin embargo con el -2 da 0. Luego si -2 es raíz, un divisor de P(x) es: x + 2 x2 - 7x + 3 Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: Por lo tanto: (2x3 – 3x2 – 11x +6) = (x + 2)·(x2 – 7x +3) Así, P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado: P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) = = 3x·(x + 2)·(x2 – 7x +3)

Para acabar de factorizar tomaremos 2x2 -7x +3 y hallaremos sus raíces. Igualamos a 0 el polinomio y resolvemos la ecuación: 2x2 -7x +3 = 0 x1 = 3 (x – 3) x - 3 Las soluciones obtenidas serán: x2 = (x – ½) x – 1/2 · · 2 Por lo tanto 2x2 -7x +3 = ¿Por qué ponemos el 2? Porque si sólo multiplicamos (x – 3) · (x – ½), el coeficiente de mayor grado no quedaría 2x2, sino x2. Así P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado: P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) = = 3x·(x + 2)·(2x2 – 7x +3) = 3x ·(x + 2)·(x – 3) ·(x -1/2) · 2

P(x) = 3x ·(x + 2)·(x – 3)·(x -1/2) · 2 Recopilemos toda la información obtenida: P(x) = 3x ·(x + 2)·(x – 3)·(x -1/2) · 2 Raíces: Polinomios divisores de P(x): -2 x + 2 3 x - 3 1/2 x – 1/2 x ¡Pero falta otra raíz! Como tenemos la x como factor, si igualamos a 0 dicho factor, obtenemos x = 0

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M) CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) Y DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)

Para calcular el m. c. d y el m. c Para calcular el m.c.d y el m.c.m, tenemos que tener los polinomios factorizados. Recuerda que para factorizar polinomios hay que seguir ciertos pasos: Sacar factor común. Mirar si es identidad notable. Resolver la ecuación de segundo grado o Ruffini.

CÁLCULO DEL M.C.D. Ejemplo 1 P(x) = x3 + x2 - 4x - 4 Hallemos el m.c.d de los polinomios P(x) y Q(x): Q(x) = 3x2 - 12x + 12 El primer paso es factorizar dichos polinomios. P(x) = (x - 2)·(x + 2)·(x + 1) Q(x) = 3·(x - 2)2

m.c.d(P(x), Q(x)) = (x - 2) La definición de m.c.d es: El producto de los factores comunes al menor exponente Luego si los polinomios P(x) y Q(x) factorizados son: P(x) = (x - 2) ·(x + 2)·(x + 1) (x - 2) Q(x) = 3·(x - 2)2 (x - 2) El único factor común, y al menor exponente es (x - 2) m.c.d(P(x), Q(x)) = (x - 2)

Ejemplo 2 P(x) = 48x6 - 144x4 + 96x3 = 24 24 · 3 · x3 · (x-1)2 Q(x) = 4x4 + 8x3 - 12x2 = 22 22 22 · x2 · (x-1) · (x-1) · (x-1) ·(x+3) Factorizamos los polinomios Recordemos que el m.c.d son factores comunes al menor exponente, luego en este caso los factores comunes son: 2 y (x-1) Como tiene que ser al menor exponente, m.c.d(P(x),Q(x)) = 22 · (x-1)

CÁLCULO DEL M.C.M. Ejemplo 1 P(x) = x3 + x2 - 4x - 4 Hallemos el m.c.m de los polinomios P(x) y Q(x): P(x) = x3 + x2 - 4x - 4 = (x - 2)·(x + 2)·(x + 1) Q(x) = 3x2 - 12x + 12 = 3·(x - 2)2 El primer paso es factorizar dichos polinomios. La definición de M.C.M. es: el producto de los factores comunes y no comunes al mayor exponente.

m.c.m(P(x), Q(x)) = 3· (x + 2)· (x + 1)· (x - 2)2 Luego si los polinomios P(x) y Q(x) factorizados son: P(x) = (x – 2) · (x - 2) · (x + 2) · · (x + 2) · (x + 2) · (x + 1) (x + 1) (x + 1) Q(x) = 3· 3· 3· · (x - 2)2 (x - 2)2 (x - 2)2 Los factores comunes son: (x - 2) y los no comunes son: 3, (x + 2) y (x + 1). Como tienen que ser al mayor exponente, el m.c.m(P(x), Q(x)) = 3· (x + 2)· (x + 1)· (x - 2)2

Ejemplo 2 P(x) = 48x6 - 144x4 + 96x3 = 24 · 3 · x3 · (x-1)2 · (x+2) Q(x) = 4x4 + 8x3 - 12x2 = 22 · x2 · (x-1) ·(x+3) Factorizamos los polinomios Recordemos que el m.c.m son factores comunes y no comunes al mayor exponente, luego en este caso, m.c.m(P(x),Q(x)) = 24· 3 · x3 · (x+3) · (x+2) · (x-1)2

FRACCIONES ALGEBRAICAS En la multiplicación y división de fracciones algebraicas se factoriza tanto el numerador como el denominador, se multiplica o se divide, según sea, y se simplifica: Ejemplo: Factorizamos Operamos y simplificamos

Para sumar o restar fracciones algebraicas tendremos que hacer como a la hora de sumar o restar fracciones, calcular el m.c.m de los denominadores Calculemos: Lo primero será factorizar los denominadores: m.c.m

·(x-2) · x ·x (x+2) = Sustituimos los denominadores por el m.c.m Dividimos el m.c.m entre cada denominador y lo multiplicamos por el numerador. Operamos y… ya está

FRACCIONES ALGEBRAICAS: ECUACIONES Estas ecuaciones se resuelven aplicando las mismas propiedades que para cualquier otro tipo de ecuación. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Debemos reducir a común denominador ambos miembros de la ecuación recordando lo que sabemos sobre polinomios primos

En la ecuación: El m.c.m. de los denominadores será simplemente su producto 6x Eliminamos denominadores y resolvemos:

Ejemplo 2: Como el cociente es por jerarquía anterior a la suma, primero operaremos: Siempre que tengamos dos fracciones separadas por un signo =, el mejor método

será utilizar la propiedad “producto de medios igual a producto de extremos”

Ejemplo 3: Una fracción vale cero cuando vale cero su numerador

Ejemplo 4 Primero factorizamos los denominadores en polinomios primos:

Calculamos el m.c.m. de los denominadores multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente Reducimos a común denominador

eliminamos denominadores y resolvemos