UPC MATRICES MA49 (EPE) Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas TÓPICOS DE MATEMÁTICA 1 MA49 (EPE) TEMA: MATRICES

.Define una matriz.Tipos de matrices .Igualdad de matrices Competencias: .Define una matriz.Tipos de matrices .Igualdad de matrices .Realiza operaciones de suma y producto por un escalar. Propiedades. .Transposición. Propiedades. .Define el producto de matrices. .Propiedades.

Introducción TABLA DE TEMPERATURAS 17 18 18.5 18.5 17 16 15 18 18 19 19 19.5 20 19 19 18.5 19 20 20 21 20 19.5 19 19.5 21 21 21 20 20 19 20 21 21 21 21 20.5 20 21 22.5 21.5 22 22 21 21 21 22 22 23 23 L Ma Mi J V S D 6 7 8 9 10 11 12

IDENTIFICACIÓN DE IMPACTOS AMBIENTALES

a un ingeniero? ¿Por qué deben interesar las matrices 1.- Forman una representación compacta y permiten resolver rápidamente sistemas de ecuaciones lineales. 2.- Son una forma matemática ordenada de expresar el efecto de las rotaciones en, por ejemplo, las aplicaciones aeroespaciales y gráficos de computador para el CAD.

3.- Permiten modelar sistemas de redes, de flujo y de transporte. Destaca su aplicación en el análisis de circuitos. 4.- Sirven como portadoras de información para almacenar tablas de datos de consulta, con- juntos de valores experimentales, imágenes digitalizadas, señales cifradas, etc. 5. El uso de matrices (arrays) constituye una parte esencial en los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,etc.

A= a a ..... a a a ..... a a a ..... a Notación: A= (aij)=A mxn MATRIZ Una matriz de orden m x n es un arreglo rectangular de números colocados en m líneas horizontales (filas) y n líneas verticales(columnas). a a ..... a 11 12 1n a a ..... a 21 22 2n A= . . ...... . a a ..... a m1 m2 mn Notación: A= (aij)=A mxn

Matriz A de orden mxn Nota: : Elemento de la fila i y columna j Nota: A las matrices se les acostumbra denotar por letras mayúsculas. Se emplean paréntesis ( ) o corchetes [ ] para encerrar los elementos que conforman a la matriz. En nuestro curso emplearemos corchetes.

TIPOS DE MATRICES Matriz Nula o Cero Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se denota por O. Es una matriz cero de orden 4x3

MATRIZ COLUMNA Tiene m filas y una sola columna. La matriz C tiene 3 filas.

MATRIZ CUADRADA El número de filas es igual al número de columnas. En este caso se dice que la matriz es de orden n. La matriz M es cuadrada de orden 3. Una matriz de orden 1 tiene un sólo elemento

MATRIZ DIAGONAL La matriz cuadrada A se dice que es diagonal si cumple con las siguientes condiciones : Si ij entonces aij= 0 Los elementos aii no son todos nulos. Matriz Diagonal de orden 4 Matriz Diagonal de orden 2

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR La matriz cuadrada A se dice que es triangular superior si cumple con las siguientes condiciones : Si i > j entonces aij= 0 Si i  j entonces aij es cualquiera

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR La matriz cuadrada A se dice que es triangular inferior si cumple con las siguientes condiciones : Si i  j entonces aij= 0 Si i  j entonces aij es cualquiera

MATRIZ IDENTIDAD Es una matriz diagonal con todos los elementos aii=1. Se denota por In. Matriz identidad de orden 3

IGUALDAD DE MATRICES Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices del mismo orden, se dice que A es igual B y se escribe A=B si para todo elemento ij se tiene aij= bij Además el orden de A es igual que el orden de B.

OPERACIONES CON MATRICES 1. SUMA DE MATRICES Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices de orden mxn , se denota por A+B a la suma de las matrices A y B y se define por C=(cij) como la nueva matriz tal que cij= aij+ bij para todo ij: C=A+B

Propiedades de la suma Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces: 1. A+B=B+A 2. A+O=A 3. (A+B)+C=A+(B+C)

Producto de un escalar por una Matriz Sean A=(aij) y  una matriz de orden mxn y un escalar respectivamente, se denota por A al producto de un número por una matriz. Es decir:  A = ( aij)

Propiedades del Producto por un Escalar Sean A y B dos matrices del mismo orden y  ,  dos escalares. Entonces: 1. (A+B)= A+ B 2. (+)A=A+A 3. ( ) A= (  A) 4. 1A=A 5. 0A=O

TRASPOSICION DE MATRICES Definición: Sea A=(aij) una matriz de orden mxn se denota AT y se llama traspuesta de A, a la nueva matriz de orden nxm con elementos aji , es decir: AT=(aji )

PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION 1. (AT)T=A 2. (A+B)T= AT+BT 3. (cA)T=cAT Nota: En la propiedad 2, A y B tienen que ser del mismo orden.

PRODUCTO DE MATRICES Definición 1: Si A1xn y Bnx1 son matrices de elementos reales entonces se denota por AB al producto de A por B y se define como la matriz que tiene por elemento el número real

Ejemplo 1x3-1x4+2x0+5x7 = 34

PRODUCTO DE MATRICES Definición 2: Si Amxp y Bpxn se denota por AB al producto de A por B y se define como la nueva matriz C=AB de orden mxn con elementos cij dados por:

El mismo número de filas que la matriz A. OBSERVACIONES 1. Notar que para que el producto AB se pueda realizar se requiere que el número de columnas de A tiene que ser igual al número de filas de B. 2. El resultado de la operación AB es una nueva matriz C que tiene: El mismo número de filas que la matriz A. El mismo número de columnas de B.

3. El producto AB puede existir y sin embargo no existir BA. Ejemplo Sin embargo: NO EXISTE

4. Si existe AB y BA, el producto matricial entre A y B no es conmutativo.

5. La matriz identidad permite conmutar el producto de AI Ejemplo

6. Si AB = 0 esto no implica que A = 0  B = 0 o ambos. Ejemplo

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL Sean A, B y C matrices tales que las operaciones que aparecen a seguir están definidas, entonces: 1. AI=A IA=A Ley asociativa 2. (AB)C=A(BC)

3. A (B+C)= AB+AC (B+C) A= BA+CA Ley distributiva

4. (AB)T=BTAT = Nota: En esta propiedad se requiere que A y B sean multiplicativas.