DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA TEMA 1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

Ecuación Diferencial Se dice que una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se clasifican en función de: TIPO. ORDEN. LINEALIDAD.

Clasificación por tipo Si una ecuación diferencial contiene sólo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.

Clasificación por tipo… Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

Clasificación por tipo… Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial.

Clasificación por tipo… Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:

Clasificación según el orden El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.

Clasificación según el orden… La ecuación: Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

Clasificación según el orden… Una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden se puede expresar mediante la forma general: F(x, y, y´, y´´, . . ., y(n))=0 Donde F es una función de valores reales de n+2 variables x, y, y´, y´´, ..., y(n).

Clasificación según el orden… Es posible despejar de una ecuación diferencial ordinaria en forma única la derivada superior y(n) en términos de las n+1 variables restantes. La ecuación diferencial: Donde f es una función continua de valores reales, se denomina forma normal.

Clasificación según la linealidad Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y´, y´´, . . ., y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando

Clasificación según la linealidad… En las ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo orden (n=1 y n=2): y se puede observar las características de una ecuación diferencial lineal: La variable dependiente y y todas sus derivadas y´, y´´, . . ., y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada término en que interviene y es 1. Los coeficientes a0, a1, …, an de y´, y´´, . . ., y(n) dependen sólo de la variable independiente x.

Clasificación según la linealidad… Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es aquella que NO es lineal.

Clasificación según la linealidad… Las siguientes ecuaciones diferenciales son no lineales: El coeficiente de y´ depende de y Función no lineal de y Potencia de y diferente de 1

Solución de una ecuación diferencial Cualquier función f, definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad, se considera solución de la ecuación en el intervalo.

Soluciones explícitas e implícitas Se dice que una solución en la que la variable dependiente se expresa solamente en términos de la variable independiente y constantes es una solución explícita. Una relación G(x,y)=0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo I, siempre que existe al menos una función f que satisface tanto la relación como la ecuación diferencial en I.

Familias de soluciones Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c)=0 de soluciones al que se le da el nombre de familia uniparamétrica de soluciones. Cuando se resuelve una ecuación diferencial de n-ésimo orden F(x, y, y´, y´´, . . ., y(n))=0, se busca una familia no paramétrica de soluciones G(x, y, c1, c2, …, cn)=0. Esto significa que una ecuación diferencial puede poseer un número infinito de soluciones que corresponden al número ilimitado de elecciones de los parámetros.

Solución particular Una solución de una ecuación diferencial que está libre de parámetros arbitrarios se le llama solución particular.

Solución singular A veces una ecuación diferencial posee una solución que no es un miembro de una familia de soluciones de la ecuación, es decir, una solución que no se puede obtener al especificar alguno de los parámetros de la familia de soluciones. Esta clase de solución se denomina solución singular.

Solución singular… Demuestre que la función y = 0 es una solución singular para la ecuación diferencial y´=xy1/2.

Problema de valores iniciales El problema que consiste en resolver: donde y0, y1, …, yn-1 son constantes reales especificadas de manera arbitraria, se denomina problema de valores iniciales. Los valores de y(x) y sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0; y(xo)=yo, y´(xo)=y1, ..., y(n-1)(xo)=yn-1 se llaman condiciones iniciales.

Existencia de una solución única Sea R una región rectangular en el plano xy definida para a<X<b, c<Y<d que contiene el punto (x0,y0) en su interior. Si f(x,y) y son continuas en R, entonces existe un intervalo I0: x0-h<x<x0+h h>0, contenido en a<X<b y una función única y(x), definida en I0, que es una solución del problema de valores iniciales.