Computación Científica Algebra lineal numérica Profesora: Dra. Nélida Beatriz Brignole
Matriz Es un arreglo de m x n números Dimensión de A: m x n m: número de filas n: número de columnas Casos particulares: m=n => A es cuadrada (dim A = orden A) n=1 => A es un vector (Notación: a)
Vectores
Traspuesta Dada la traspuesta es donde Nótese: la traspuesta de un vector columna es un vector fila
Ejemplo
Identidad La identidad es donde Nótese: AI=IA=A
Ejemplo
Inversa Dada la inversa de ella es donde Nótese: NO TODAS las matrices admiten inversa
Ejemplo
MATRICES ESPECIALES Problemas Generales
Matrices Triangulares
Problemas lineales más comunes Resolución de sistemas lineales Resolución problema de autovalores
Matriz Diagonal
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Inferior
Nomenclatura Matrices Tipo reales Simétrica Ortogonal complejas Hermítica Unitaria
Ejemplos
Matrices Unitarias y Ortogonales
Matriz Definida Positiva
Particionamiento de matrices
Ejemplo
Permutaciones
Matrices de permutación Es cualquier matriz que resulta de reordenar (permutar) las filas de I PA permuta filas de A AP permuta columnas de A
Matrices de permutación
Propiedades
Propiedad Si P es matriz de permutación, entonces P tiene inversa P es ortogonal
Demostración
Operaciones
Igualdad A=B si tienen igual dimensión y
Suma Dadas dimA=dimB=dimC C=A+B =>
Producto Dadas el producto es C=AB tal que:
Ejemplo
Producto por un escalar Dados el producto es
Ejemplo
Propiedades del producto Dadas: No conmutativa Asociativa A(BC)=(AB)C Distributiva A(B+C)=AB+AC
Demostración: cqd.
Demostración: cqd.
Demostración: cqd.
FIN PRIMERA PARTE
Autovalores
Espectro de A
Radio espectral
Radio Espectral de la Inversa
Lema 1 Sea A cuadrada, entonces para cualquier norma consistente y subordinada a una norma de vectores :
Demostración
Matriz definida positiva
Teorema 2 Si A es simétrica, entonces todos sus autovalores son reales
Teorema 3 Si A es simétrica y definida positiva, entonces todos sus autovalores son reales y positivos
Demostracion
Definición
Lema 2
Teorema 4 Las siguientes proposiciones son equivalentes:
Lema 3
Lectura obligatoria Libro: Kincaid Cap. 4 : págs 116-123