Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T. Departamento de Matemáticas Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T. Razones trigonométricas Relaciones entre las razones trigonométricas Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos principales Representación en la circunferencia unidad Signo de las razones trigonométricas Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos: opuestos, complementarios, … Resolución de triángulos rectángulos Teorema del Seno Teorema del Coseno Resolución de triángulos cualesquiera Mariano Benito

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS b c Y sus inversas: Mariano Benito

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS b c Mariano Benito

VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360 º sen 1 -1 cos tg cosec sec cotg Mariano Benito

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 en el primer cuadrante 90º 180º 0º 270º Mariano Benito

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 en el segundo cuadrante 90º 180º 0º 270º Mariano Benito

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 90º 180º 0º en el tercer cuadrante 270º Mariano Benito

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 90º 180º 0º en el cuarto cuadrante 270º Mariano Benito

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Seno y Cosecante + + _ _ Coseno y Secante _ + _ + Tangente y Cotangente _ + _ + Mariano Benito

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a. sen (-a) = -sen a cos (-a) = cos a tg (-a) = -tg a cosec (-a) = -cosec a sec (-a) = sec a cotg (-a) = -cotg a a -a EJEMPLO: sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º cos 330º = cos (-30º) = cos 30º tg 330º = tg (-30º) = -tg 30º Calcula las demás razones trigonométricas Mariano Benito

Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a. sen (90º-a) = cos a cos (90º-a) = sen a tg (90º-a) = cotga cosec(90º-a) = sec a sec(90º-a) = cosec a cotg(90º-a) = tg a 90º-a EJEMPLO: a sen 60º = cos 30º cos 60º = sen 30º tg 60º = tg30º Calcula las demás razones trigonométricas Mariano Benito

Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a. sen (180º-a) = sen a cos (180º-a) = -cos a tg (180º-a) = -tg a cosec (180º-a) = cosec a sec (180º-a) = -sec a 180º-a cotg (180º-a) = -cotg a a EJEMPLO: sen 150º = sen 30º cos 150º = -cos 30º tg 150º = -tg 30º Calcula las demás razones trigonométricas Mariano Benito

Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a. sen (180º+a) = -sen a cos (180º+a) = -cos a tg (180º+a) = tg a cosec (180º+a) = -cosec a sec (180º+a) = -sec a 180º+a cotg (180º+a) = cotg a a EJEMPLO: sen 210º = -sen 30º cos 210º = -cos 30º tg 210º = tg 30º Calcula las demás razones trigonométricas Mariano Benito

Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, B y C), conociendo dos de ellos. C a b Casos que pueden presentarse: I. Conocer un cateto y la hipotenusa II. Conocer un cateto y un ángulo agudo III. Conocer los dos catetos IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo 90º A c B Mariano Benito

I. Conocer un cateto y la hipotenusa Datos: a = 25 cm., b = 16 cm. Teorema de Pitágoras: a b 90º Definición de seno: A c B Mariano Benito

II. Conocer un cateto y un ángulo agudo Datos: C = 35º, b = 16 cm. Los ángulos B y C son complementarios: B = 90º - C = 90º - 35º = 55º a b Definición de seno y coseno de C: 90º A c B Mariano Benito

III. Conocer los dos catetos Datos: b = 16 m. c = 12 m. Teorema de Pitágoras: a b 90º Definición de tangente: A c B Mariano Benito

IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo Datos: a = 30 m. C = 25º Los ángulos B y C son complementarios: B = 90º - C = 90º - 25º = 65º a b Definición de seno y coseno de C: 90º A c B Mariano Benito

Teorema del Seno C b a h m n Igualando la h en ambas ecuaciones B A c Y en general se tiene: TEOREMA DEL SENO: En todo triángulo la razón entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante …… Mariano Benito

Teorema del Seno …… y dicha constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Los ángulos B y D son iguales por ser inscritos y abarcar el mismo arco de circunferencia. C D 90º En el triángulo ABC: a b 2R c B A En el triángulo ADC: Por lo tanto: Mariano Benito

Teorema del Coseno C b a h m n H B A c Para cualquier lado queda: Si el triángulo es rectángulo queda el Teorema de Pitágoras. Mariano Benito

Resolución de triángulos cualesquiera Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de ellos. C a b Casos que pueden presentarse: I. Conocer los tres lados II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes B c A Mariano Benito

I. Conocer los tres lados Datos: a = 15 m., b = 22 m. c = 17 m. C a b B Con el teorema del Coseno: c A Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera

II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido Datos: a = 10 dm., b = 7 dm. C = 30º. b c C a B Con el teorema del Coseno calculamos c: Con el teorema del Seno hallamos B: Como el único ángulo obtuso es A, B = 41º 36’ 20’’: y A = 180º- 30º - B = 108º 23’ 40’’ Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera

III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos Conocemos los lados a y b y el ángulo A. En este caso hemos de contemplar tres posibilidades. Es conveniente comenzar calculando la altura, h=b.senA, del futuro triángulo. Puede ocurrir: III.3 a > h b III.2 a = h III.1 a < h h a b b a A h a h III.3.1 a > h y a < b A A b III.3.2 a > h y a > b b h a a h a b A h A A Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera

Ejemplo III.1 a<h Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 7 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 7 < 10 = h, NO EXISTE EL TRIÁNGULO a=7 20=b 10=h 30º=A c Volver al caso III Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera

Ejemplo III.2 a=h Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 10 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 10 = 10 = h, TRIÁNGULO RECTÁNGULO. C B = 90º, C = 90º-A = 60º cosA = c/b = c/20 c = 20.cosA = 17.32 m. 20=b 10=h a=10 A=30º c B Volver al caso III Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera

Ejemplo III.3.1 a > h y a < b Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 15 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 15 > 10 = h, a < b HAY DOS SOLUCIONES. 20=b 20=b h=10 h=10 a=15 15=a c c A=30º B A=30º B B agudo C = 180-A-B = 108º11’23’’ c=(a.senC)/senA= 28.50 m. B obtuso C = 180-A-B = 11º48’37’’ c=(a.senC)/senA= 6.14 m. Volver al caso III Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera

Ejemplo III.3.2 a > h y a > b C Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 25 m., b = 20 m. y A = 30º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. b a h A c B C a b Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 25 m., b = 20 m. y A = 150º Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. h B c A Volver al caso III Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera

IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes Datos: a = 10 dm., B = 45º, C = 30º. B a c Calculamos A = 180º – B – C = 105º A b C Con el teorema del Seno: Mariano Benito Volver a resolución de triángulos cualesquiera