Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEMA 3 * 3º ESO PROPORCIONALIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEMA 3.6 * 3º ESO PORCENTAJES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO PORCENTAJES La proporcionalidad se expresa con un cociente, una fracción a --- = k , siendo k la razón de proporcionalidad o simplemente razón. a’ PORCENTAJE o TANTO POR CIENTO Un porcentaje es una proporcionalidad cuyo denominador es 100. Su símbolo es %. Para comparar dos razones se utilizan los porcentajes. EJEMPLO En Matemáticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos. 2 40 --- = ------ = 40 % , que es el porcentaje de aprobados. 5 100 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TANTO POR UNO En una razón se llama tanto por uno a la expresión decimal que resulta de efectuar la división. a --- = r , siendo r la razón de proporcionalidad o tanto por uno. a’ EJEMPLO_1 En Matemáticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos. 2 --- = 0,4 , que es el tanto por uno. 5 EJEMPLO_2 En Física han aprobado 3 de cada ocho alumnos. 3 --- = 0,375 , que es el tanto por uno. 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TANTO POR MIL Cuando el tanto por ciento, %, resulta una cantidad muy pequeña, resulta más adecuado expresarlo en tanto por mil. El tanto por mil es una proporcionalidad cuyo denominador es 1000. Su símbolo es o/oo EJEMPLO En África el virus Ébola mata a 3 de cada 10000 personas. 3 30 --------- = -------- = 30 o/oo , que es el porcentaje muertes. 10000 1000 EJEMPLO_2 El número de inmigrantes en Barcelona es de 400 por cada millón de personas. 400 4 0,4 ------------ = ----------- = -------- = 0,4 o/oo , que es el tanto por mil. 1000000 10000 1000 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PORCENTAJES ENCADENADOS TANTO POR UNO ENCADENADOS La aplicación sucesiva de porcentajes, o tantos por uno, de una cantidad se llama tantos por uno encadenados y es equivalente al PRODUCTO de estos. Ejemplo 1 Al comprar un objeto nos hacen un 20% de descuento, pero al pagarlo nos aplican un 16% de IVA Si nos hacen un 20% de descuento: 100 – 20 = 80  Se paga el 80% del precio. Si nos imponen un 16% de IVA: 100 + 16 = 116  Se paga el 116 % del precio. En total: El 116% del 80% será 1,16 . 0,8 = 0,928 , que es el 92,8 % del precio. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO 2 El precio de un ordenador marca 1000 €. Nos hacen un 20 % de descuento. Pero al pedir la factura nos aplican un 16% de IVA. ¿Cuánto pagamos por el ordenador?. Descuento: 100 – 20 = 80 80 80% de 1000 = ----- . 1000 = 800 € hay que pagar. 100 Aumento: 100 + 16 = 116 116 116 % de 800 = -------. 800 = 928 € pagamos finalmente Utilizando porcentajes encadenados, tenemos: 116 % de (80 % de 1000) = 1,16.0,8. 1000 = 0,928.1000 = 928 € Al final pagamos el 92,8 % de su valor, menos de lo señalado. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO 3 Un piso me costó hace pocos años 100.000 €. Su valor ha aumentado un 25%. Pero al venderlo, los gastos me suponen un 20% de su valor. ¿Qué dinero voy a obtener finalmente si le vendo?. Aumento de valor: 100 + 25 = 125 125 125 % de 100.000 = ------ . 100.000 = 125.000 € vale ahora. 100 Gastos de venta: 100 - 20 = 80 80 80 % de 125.000 = -------. 125.000 = 100.000 € obtendría Utilizando porcentajes encadenados, tenemos: 80 % de (125 % de 100.000) = 0,8.1,25.100.000 = 1x100.000 = = 100.000 € Importante: A pesar de que la subida (25%) es mayor que los gastos (20%), los porcentajes son respecto a cantidades diferentes (100.000 y 125.000), por lo cual el balance final es nulo. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO EJEMPLO 4 Un coche valía en Enero 12.000 €. En Junio subió un 5%. En Agosto subió un 3%. Y en diciembre bajó un 7 %. ¿Por cuánto lo compré a final de año?. Porcentaje encadenado: (100 + 5 %).(100 + 3 %).(100 – 7 %) = = (105 %).(103 %).(93%) = 1,05.1,03.0,93 = 1,005795 Precio final: P = 1,005795.12000 = 12069,54 € EJEMPLO 5 Una lavadora me costó 300 € en septiembre. En marzo había bajado su precio un 10 %, en abril había subido un 15% y en septiembre bajó un 12%. ¿Qué precio señalaba antes de marzo?. (100 – 10 %).(100 + 15 %).(100 – 12 %) = = (90 %).(115 %).(88 %) = 0,90.1,15.0,88 = 0,9108 300 = 0,9108.Po  Po = 300 / 0,9108 = 329,38 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO TEMA 3.7 * 3º ESO INTERÉS SIMPLE @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Interés simple El dinero depositado en un banco se llama CAPITAL. La cantidad de dinero que paga el banco por el capital depositado se llama INTERÉS. El dinero que paga el banco al año por cada 100 € depositados se llama TIPO DE INTERÉS o RÉDITO El interés es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL al capital, al rédito y al tiempo. C . r . t C . r . t C . r . t i = ------------- ; i = ------------; i = ------------ , según se mida 100 1200 36000 el tiempo en años, meses o días. O sea Interés = C.r.t ,, Capital final = C + C.r.t @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_1 Un grupo de estudiantes tiene 5.000 € para un viaje fin de estudios a realizar dentro de dos años, dos meses y 20 dias. Un banco les ofrece un interés nominal anual del 3%. ¿Qué dinero obtendrían si lo colocan a 2 años? ¿Y si lo colocan a 26 meses? ¿Y si lo colocan a 800 días? C . r . t 5.000.3.2 i = ------------- = ---------------- = 300 € 100 100 C . r . t 5.000.3.26 i = ------------- = ---------------- = 325 € 1200 1200 C . r . t 5.000.3.800 i = ------------- = ------------------- = 367 € 36000 36000 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_2 ¿Qué rédito me debe ofrecer un banco si deseo que al cabo de 20 meses un capital de 5000 € se me convierta en 6000 €? Quiero que 5000 + i = 6000 Luego debo conseguir unos intereses de 1000 €. C . r . t 5.000. r. 20 i = ------------- ; 1000 = ---------------- ; 1200 1200 Resolviendo la ecuación: 1200000 = 100.000. r  r = 1200000 / 100000 = 12 El tipo de interés debe ser del 12%. Nota: Un rédito tan alto es impensable conseguirlo actualmente. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_3 ¿Qué tiempo debo tener invertido un capital para que con un tipo de interés del 4% pueda triplicar dicho capital inicial? Quiero que C + i = 3.C Luego debo conseguir unos intereses de 2.C. C . r . t C. 4. t i = ------------- ; 2.C = ------------; 100 100 Resolviendo la ecuación: 200. C = 4.C.t  t = 200. C / 4. C = 50 Debo depositarlo durante 50 años para que se triplique. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO