Métodos de integración por cuadraturas: Queremos calcular la integral de una función en el intervalo (a,b): Para ello tomamos n+1 puntos: (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) donde x0≠ x1≠... xn y buscamos un polinomio p2n+1 (x) de grado 2n+1 tal que: P2n+1 (xi) = yi , i = 0,1, …,n Y aproximaremos la integral buscada mediante la integral del polinomio:
Como el polinomio pasa por todos los puntos es un polinomio de interpolación, aunque no es único (no tiene orden menor o igual a n). Lo podemos escribir del modo siguiente: Supongamos que el intervalo de integración (a,b) es el (-1,1). Si no es así, siempre podemos tomar el cambio de variable adecuado :
La primera integral se puede re-escribir como:
La segunda integral se escoge de forma que su contribución sea cero: Para ello tendremos que escoger adecuadamente qn(x). Tomemos una base ortogonal {gk(x)} con k un índice entero. Entonces: luego la integral se puede escribir como:
Dada la ortogonalidad de las {gk(x)}: luego, para que la integral sea cero basta escoger:
y, para que se cumpla: basta con escoger los puntos xj, de forma que sean los ceros de gn+1(x) Como hemos escogido el intervalo (-1,1) los gk(x) podrían ser los Polinomios de Legendre.En este caso la cuadratura recibe el nombre de: Cuadratura de Gauss-Legendre.
Ejemplo: ¡¡¡EN RADIANES!!! Tomando n=1 (2 puntos):
Tomando n=2 (3 puntos):
Por trapecios (3 puntos) h=1:
Por Simpson (3 puntos) h=1:
Volviendo a la cuadratura de Gauss-Legendre y tomando n=3 (4 puntos):
Si el intervalo de la integral no es el (-1,1) haremos el siguiente cambio de variable: los valores de la tabla
Ejemplo: Tomando n=2 (3 puntos):
Calcular mediante cuadratura de Gauss-Legendre con 4 puntos la siguiente función (llamada función error) en el punto x = 0.5:
Calcular:
¡¡¡EN RADIANES!!! Tomando Gauss-Legendre con n=2 (3 puntos):
Tomando Gauss-Legendre con n=3 (4 puntos): ¡¡¡EN RADIANES!!!
Tomando Gauss-Legendre con n=2 (3 puntos):
Tomando Gauss-Legendre con n=3 (4 puntos):
Tomando Gauss-Legendre con n=4 (5 puntos):
Tomando n=1 (2 puntos): ¡¡¡EN RADIANES!!!
Tomando n=2 (3 puntos):
Por Simpson con un intervalo ( h = 0.5): Por Simpson con dos intervalos ( h = 0.25):