Apuntes Matemáticas 1º ESO TEMA 15.7 * 1º ESO TRIÁNGULOS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO EL TRIÁNGULO TRIÁNGULOS Son los polígonos de tres lados. Perímetro Suma de los lados P=a+b+c Área La mitad del producto de un lado cualquiera por la altura correspondiente. Altura La recta perpendicular a un lado, que hace de base, trazada desde el vértice opuesto a dicho lado. P = a+b+c a c h b A = b.h / 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Particularidades FÓRMULA DE HERÓN Cuando en un triángulo se conoce la medida de los tres lados, se puede emplear la fórmula de Herón para hallar el área: A=√(p.(p – a).(p – b).(p – c)) Siendo p el semiperímetro: p= (a+b+c)/2 EJEMPLO 1 Hallar el perímetro y el área del triángulo cuyos lados miden a=3, b=5 y c=7 cm P = a+b+c = 4+5+7 = 16 p= P/2 = 16/2 = 8 A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c)) A=√(8.(8 – 4).(8 – 5).(8 – 7)) A=√(8.4.3.1) = √96 = √16.6 = 4.√6 u2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Triángulo Rectángulo ÁREAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Si el triángulo es rectángulo, un cateto es la altura correspondiente al otro cateto y viceversa. Ello nos permite calcular el área sin necesidad de hallar previamente la altura. A=b.c/2 Y también nos permite calcular la altura correspondiente a la base: A=a.h/2 Luego podemos igualar las áreas, al ser la misma: b.c/2 = a.h/2 Y despejando la altura correspondiente a la hipotenusa: h= b.c / a a b ha c @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Triángulo Rectángulo Ejemplo 2 Hallar el perímetro y el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden b= 8 cm y c= 6 cm, así como la altura relativa al lado a. Calculamos el lado a o hipotenusa mediante el T. de Pitágoras a=√(b2+ c2) = √(82+62) = √100 = 10 cm Perímetro: P=a+b+c = 10+8+6 = 24 cm Si tomamos b=8 como base  h=c=6 A=b.h/2 = 8.6/2 = 24 cm2 Si tomamos c=6 como base  h=b=8 A=c.h/2 = 6.8/2 = 24 cm2 El área es único, aunque halla cuatro formas de calcularlo. b.c/2 = a.ha/2  8.6/2=10.ha/2  ha = 8.6/10 = 4,8 cm a b ha c @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Triángulo Isósceles Ejemplo 3 Hallar el perímetro y el área del triángulo isósceles de altura hc=12 cm y lado c=10 cm, así como la altura relativa a los lados iguales. Calculamos el lado a=b o hipotenusa mediante el T. de Pitágoras, gracias al triángulo rectángulo que se forma. a=b=√(hc2+ (c/2)2) = √(122+52) = √169 = 13 cm Perímetro: P=a+b+c = 13+13+12 = 38 cm Si tomamos c=10 como base  h=hc=12 A=b.h/2 = 10.12 / 2 = 60 cm2 El área es único, aunque halla cuatro formas de calcularlo. A = a.ha / 2  60 =13.ha / 2  ha = 60.2/13 = 9,23 cm La altura correspondiente al lado b es: hb=ha=9,23 cm b a hc ha c @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Ejemplo 4 Comprobar el área hallada en el Ejemplo 2 mediante la Fórmula de Herón: a=10 cm, b=8 cm, c= 6 cm P = a+b+c = 10+8+6 = 24 p= P/2 = 24/2 = 12 A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c)) A=√(12.(12 – 10).(12 – 8).(12 – 6)) A=√(12.2.4.6) = √24.24 = 24 cm2 Ejemplo 5 Comprobar el área hallada en el Ejemplo 3 mediante la Fórmula de Herón: a=13 cm, b=13 cm, c= 10 cm P = a+b+c = 13+13+10 = 36 p= P/2 = 36/2 = 18 A=√(18.(18 – 13).(18 – 13).(18 – 10)) A=√(18.5.5.2) = √36.25 = 6.5 = 30 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Triángulo Equilatero Ejemplo 6 Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero de lado 12 cm. En un triángulo equilátero a=b=c=l Perímetro: P=a+b+c = l+l+l = 3.l = 3.12 = 36 cm Asimismo las alturas correspondientes a los lados también son iguales: ha=hb=hc=h Mediante el T. de Pitágoras, gracias al triángulo rectángulo que se forma. h=√(l2 – (l /2)2) = √(122 – 62) = √(144 – 36) = √108 = 6.√3 cm Si tomamos l=12 como base  h= 6.√3 A=b.h/2 = 12. 6.√3 / 2 = 36.√3 cm2 l l h h h l @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO