Matemáticas 2º Bachillerato C. T. DISTANCIAS TEMA 8.2 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

DISTANCIA DE PUNTO A RECTA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. Si A es un punto de la recta y v su vector director y además P es el punto exterior, la distancia de P a r es: siendo el numerador el módulo del producto vectorial. EJEMPLO Hallar la distancia del punto P(1, 0, -2) a la recta r: (A, v), siendo el punto A(4, 2, -1) y el vector director de la recta v(0, 1, -1) i j k 4-1 2-0 -1+2 |AP x v| 0 1 -1 | -3i+3j+3k | √9+9+9 3√3 d(P, r) = ------------ = ---------------------------- = ---------------- = ------------ = ----- |v| √(02+12+12) √2 √2 √2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

DISTANCIA DE PUNTO A UN PLANO DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Sea el plano π: Ax+By+Cz+D=0 y P(p1, p2, p3) es el punto exterior, la distancia de P a π es: Ejemplo Hallar la distancia del punto P(2, -3 , 4) al plano π : x + 5y – 6z + 6 = 0 La distancia es: |1.2 + 5.(-3)+(-6).4 + 6| |2 – 15 – 24 + 6| 31 31. √62 d(P, π) = ------------------------------- = ------------------------ = -------- = ----------- = √(12+52+(-6)2) √(1+25+36) √62 62 = √62 / 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS Si los dos planos no son paralelos, la distancia es nula. Si los planos son paralelos, se hallará un punto cualquiera P de uno de los planos y se hallará la distancia del punto P al otro plano. Ejemplo Hallar la distancia entre π : x + 5y – 6z + 6 = 0 y π’ : x + 5y – 6z – 2 = 0 Los planos son paralelos, pues tienen el mismo vector director N(1, 5, -6). Un punto cualquiera de π’ es: P(3, 1, 1) |1.3 + 5.1+(-6).1 + 6| |3 + 5 – 6 + 6| 8 8. √62 d(P, π) = ------------------------------- = ------------------------ = -------- = ----------- = √(12+52+(-6)2) √(1+25+36) √62 62 = 4.√62 / 31 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

DISTANCIA ENTRE RECTAS DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS. 1.- Si las rectas son secantes o coincidentes, su distancia es nula. 2.- Si son paralelas o se cruzan puede ocurrir: 2.1.- Paralelas: Basta calcular un punto de una de ellas y la distancia entre él y la otra. 2.2.- Se cruzan: Sean A y B dos puntos de r y s respectivamente y u, v sus vectores directores, se tiene que: siendo el numerador el módulo del producto mixto y el denominador el módulo del producto vectorial. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. Gráfico EJEMPLO Hallar la distancia entre las rectas: r: (A, v) y s(B,u) Siendo A(1, 1, 1) , v(2, 0, 3) , B(-1, 0 , -1) y u(0, -1, 2) Las rectas no son coincidentes ni paralelas puesto que no tienen el mismo vector director. Pudieran ser secantes ( se cortan en un punto común), en cuyo caso la distancia que hallemos será nula. Suponemos pues que no son secantes, sino que se cruzan. Sabemos que: 1+1 1-0 1+1 2 0 3 0 -1 2 | -4+6-4| 2 2.√29 d(r,s)= ---------------------------- = ------------- = ----- = -------- i j k |-3i-4j-2k| √29 29 0 -1 2 r s @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

DISTANCIA DE RECTA A PLANO DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PLANO. Es la distancia entre un punto de la recta y el plano (sólo en el caso de que ambos sean paralelos), pues en los demás casos la distancia es nula. Sea la recta r:(P,v) Siendo P(p1, p2, p3) un punto de la recta y v(v1,v2,v3) el vector director de r. Sea el plano π:(B,N) Siendo B(b1,b2,b3) un punto del plano y N(A, B, C) el vector director de π. Distancia de r a π = d(P, π) π d P r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. EJEMPLO Hallar la distancia de la recta r:(P,v) al plano π:(B,N) Siendo P(3, 2, 1) un punto de la recta y v(0, -2. 1) el vector director de r; siendo B(3, 5, -2) un punto del plano y N(12, -4, 3) el vector director de π. Distancia de r a π = d(P, π) Sea el plano π: 12x – 4y + 3z + D = 0  Por pertenecer B al plano: 12.3 – 4.5 + 3.(-2) + D = 0  D = 20 + 6 – 36 = - 10 |12.3+(-4).2+3.1 – 10| 36 – 8 + 3 – 10 21 d(P, π) = ------------------------------- = --------------------- = ------ √ (122+(-4) 2+32) √169 13 π d P r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS Si no son paralelos la distancia es nula. Si lo son, la distancia se calcula obteniendo un punto del primero y averiguando su distancia hasta el segundo. Sean los planos π:(P,N) y π’:(B,N) Siendo P(p1, p2, p3) un punto del plano, B(b1, b2, b3) un punto del otro plano y N(A, B, C) el vector director de π y de π’, igual al ser paralelos. Sea el plano π’:(Ax+By+Cz+D=0) Hallamos D, identificando b1 con x, b2 con y y b3 con z D= – A.b1 – B.b2 – C.b3 Y aplicamos la fórmula. π’ d π P @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.

Matemáticas 2º Bachillerato C. T. EJEMPLO Hallar la distancia entre los planos: π:(3x – 4y + 5z – 4 =0) y π’:(3x – 4y + 5z + 2 =0) Hallamos un punto P, cualquiera del plano π: P(1, 1, 1) es un punto que pertenece al plano. Y aplicamos la fórmula. |A,p1+B.p2+C.p3 + D| d(P, π’) = ---------------------------------- = √(A2+B2+C2) | 3.1 – 4.1 + 5.1 + 2| = ----------------------------- = √(9+16+25) | 3 – 4 + 5 + 2| 6 = ----------------------------- = ---------- = √50 5. √2 = 6. √2 / 10 = 0’6.√2 π’ d π P @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C. T.