PPTCANMTGEA03005V3 Congruencia Y semejanza

Figuras congruentes Definición Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos:

Figuras congruentes Triángulos congruentes A C B D F E Para determinar si dos triángulos son congruentes, podemos utilizar los siguientes criterios: 1° Lado, lado, lado (L.L.L.): Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC  Δ DEF 

Figuras congruentes Triángulos congruentes 2° Lado, ángulo, lado ( L.A.L. ): Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. AB C E F D  Ejemplo: Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC  Δ DEF 

Figuras congruentes Triángulos congruentes 3° Ángulo, lado, ángulo ( A.L.A. ): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. AB C E F D  12 Ejemplo:  Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC  Δ DEF 

Figuras semejantes Definición Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes. G F J I H      A E D C B      1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.

Figuras semejantes Definición A E D C B      G F J I H      Además, están en razón 1:2. Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.

Figuras semejantes Triángulos semejantes  Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos son proporcionales. Ejemplo: AB C    E F D    Los lados homólogos están en razón: 1:3 = k Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar. AB es homólogo a DE BC es homólogo a EF AC es homólogo a DF  AB DE BC EF AC DF 1 3 = == = k

Figuras semejantes Criterios de semejanza 1° Criterio AA. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes. Ejemplo: AB C 34 o 55 o E F D 34 o 55 o Δ ABC ~ Δ DFE por AA Además AB DF BC FE AC DE = == k

Figuras semejantes Criterios de semejanza 2° Criterio LLL. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. Ejemplo: Δ ABC ~ Δ FDE por LLL AB C 4 E F D AC DF BC EF AB DE 1 2 = == = k

Figuras semejantes Criterios de semejanza 3° Criterio LAL. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: AB C 4 E F D ° Δ ABC ~ Δ FED por LAL Además  BAC =  DFE y  CBA =  FED  AC FD BC ED = = = = k

Síntesis de la clase Figuras Congruentes Ángulos congruentes Lados congruentes A C B D F E LLLLLL LALLAL A D E BC F ALAALA A DB E F C 3 3 Triángulos Congruentes

Síntesis de la clase Figuras semejantes Triángulos semejantes Ángulos respectivos congruentes Lados homólogos proporcionales AB C  E F D      Δ ABC ~ Δ DEF CriteriosElementos homólogos Lados proporcionales AC DF = CB FE = AB DE = k = 1 2 AA LLL LAL