Universidad Nacional de Ingeniería Recinto Universitario Augusto C. Sandino Líder en Ciencia y Tecnología MÉTODO SIMPLEX

Método Simplex: Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Para poder realizar el trabajo de el método simplex se deben seguir una serie de pasos como son: 1- Se convierten las restricciones en igualdades. 2- Se iguala la función objetivo a cero. 3- Se agregan los coeficientes según el numero de restricciones. 4-Se inicia la tabla simplex o matriz nueva. 5-Se busca el menor negativo y el menor positivo para seleccionar el numero pivote. 6- Se busca la matriz nueva.

Z= X1+0.5X2 2X1 + X2 ≤4 X1 + 2X2 ≤3 Caso 1. Se desea maximizar: Sujeto a las Siguientes restricciones: 2X1 + X2 ≤4 X1 + 2X2 ≤3

2X1+X2=4 X1+2X2=3 Z - X1 -0.5X2 = 0 2X1 + X2 + X3 = 4 1-Se convierten las restricciones en igualdades: 2X1+X2=4 X1+2X2=3 2- Se iguala la función objetivo a cero: Z - X1 -0.5X2 = 0 3- Se agregan los coeficientes según el numero de restricciones: 2X1 + X2 + X3 = 4 X1 + 2X2 + __ + X4 = 3 Z -X1 -0.5X2 + __+__ = 0

2X1 + X2 + X3 = 4 X1 + 2X2 + __ + X4 = 3 Z -X1 -0.5X2 + __ +__ = 0 4- Se inicia la tabla simplex o matriz nueva, usando los coeficientes de las variables: Variables Básicas Z X1 X2 X3 X4 Lado Derecho 2 1 4 3 -1 -0,5

5- Se busca el menor negativo y el menor positivo para encontrar el numero pivote: Variables Básicas Z X1 X2 X3 X4 Lado Derecho 2 1 4 3 -1 -0,5 2 4 1 3 El menor negativo es: -1 Para encontrar el menor positivo se divide el lado derecho entre la columna donde se encuentra el menor negativo: 4 ÷ 2 = 2 3 ÷ 1 = 3 El menor positivo es: 2

El numero pivote es el que tienen en común la fila del menor positivo y la columna del menor negativo: Variables Básicas Z X1 X2 X3 X4 Lado Derecho 2 1 4 3 -1 -0,5 2 1 1 4 4 ÷ 2 = 2 1 3 ÷ 1 = 3 -1 0 ÷ -1 = 0 6- Se busca la matriz nueva; para encontrar los valores de la matriz nueva en su primer fila se dividirán los valores de la primer fila de la matriz vieja entre el numero pivote de la fila misma: Z: 0 ÷ 2 = 0 X1: 2 ÷ 2 = 1 X2: 1 ÷ 2 = 0.5 X3: 1 ÷ 2 = 0.5 X4: 0 ÷ 2 = 0 LD: 4 ÷ 2 = 2

Se anotaran los valores nuevos donde corresponden a cada variable Variables Básicas Z X1 X2 X3 X4 Lado Derecho 1 0,5 2 Para encontrar el resto de los valores se realizaran los siguientes cálculos matemáticos: Se selecciona el valor de la fila de la Matriz Vieja y ha este numero se le resta el resultado de la multiplicación de el numero pivote de la fila por el valor de la primer fila ya encontrada. Z: 0 – (1*0) = 0 X1: 1 – (1*1) = 0 X2: 2 – (1*0,5) = 1,5 X3: 0 – (1*0),5 = -0,5 X4: 1 – (1*0) = 1 LD: 3 – (1*2) = 1

Z: 1 – (-1*0) = 1 X1: -1 – (-1*1) = 0 X2: -0,5 – (-1*0,5) = 0 Variables Básicas Z X1 X2 X3 X4 Lado Derecho 1 0,5 2 1,5 -0,5 Para encontrar la ultima fila de nuestra matriz nueva se realiza el mismo procedimiento: Z: 1 – (-1*0) = 1 X1: -1 – (-1*1) = 0 X2: -0,5 – (-1*0,5) = 0 X3: 0 – (-1*0),5 = 0,5 X4: 0 – (-1*0) = 0 LD: 0 – (-1*2) = 2 Se selecciona el valor de la fila de la Matriz Vieja y ha este numero se le resta el resultado de la multiplicación de el numero pivote de la fila por el valor de la primer fila ya encontrada.

Nuestro ejercicio concluye cuando al haber encontrado la matriz nueva, los valores en Z (Producción) son todos positivos. MATRIZ VIEJA Variables Básicas Z X1 X2 X3 X4 Lado Derecho 2 1 4 3 -1 -0,5 1 -1 -0,5 MATRIZ NUEVA Variables Básicas Z X1 X2 X3 X4 Lado Derecho 1 0,5 2 1,5 -0,5 1 0,5 2

Cabe mencionar que como Z representa la producción, sus valores no pueden ser negativos. El Método Simplex nos permite rectificar los valores de Z y encontrar la solución optima para la Maximización en producción. Además de que el Método Simplex nos permite comprobar de manara matemática algún caso ya antes resuelto con el método grafico. A continuación se presentará un ejemplo de como resolver un caso de Método Simplex. Y como utilizar el Programa de WinQSB para resolver casos por el Método Grafico. WinQSB MÉTODO SIMPLEX