AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román.

Presentación del tema: "AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román."— Transcripción de la presentación:

1 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Este material interactivo presenta la resolución interactiva de un ejemplo concreto de un problema de P.L. mediante el método Simplex Dual. Así, partiendo de la tabla inicial para dicho problema la primera cuestión que se plantea al alumno es si la solución básica inicial es óptima, ante la cual puede seleccionar dos opciones: si el alumno cree que es capaz de responder a esta pregunta debe elegir el botón Continuar y comprobar; si no sabe, debe seleccionar el botón Necesito ayuda. Si el alumno selecciona la opción Continuar y comprobar, se le suministra la solución, sin detalles, a la pregunta propuesta, pudiendo optar por la opción Volver si comprueba que su opción no era la adecuada y debe seleccionar el botón Necesito ayuda. Si por el contrario selecciona Necesito ayuda, se le explica de forma detallada y con animaciones cómo realizar los cálculos necesarios y comprobar las condiciones necesarias para llegar a la respuesta adecuada. Dado que, en este caso, la solución básica inicial no es óptima, dado que no es factible, el siguiente paso que debe realizar el alumno es comprobar la existencia de una base dual factible y determinar la variable que sale de la base y la que entra. Nuevamente al alumno se le plantean las opciones Continuar y comprobar y Necesito ayuda. Una vez determinadas tanto la variable que entra como la que sale de la base, el siguiente paso para la resolución del problema planteado es la obtención de la nueva tabla del Simplex Dual asociada a las nuevas variables básicas (cambio de base en una iteración del método Simplex Dual). Al solicitarle al alumno que resuelva esta cuestión de nuevo se le ofrecen las posibilidades ya citadas. Así, de una forma totalmente guiada, se llega finalmente a la solución del problema. AVISO : Para su correcta visualización es necesario tener instalada la opción Microsoft Editor de ecuaciones de Microsoft Office. Las presentaciones avanzan con sucesivos clicks de ratón y/o pulsando los eventuales botones (no deben usarse los cursores ni la rueda del ratón).

2 Continuar y comprobar Necesito ayuda ¿La solución obtenida es óptima? 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román

3 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 0 000 0 0 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. son mayores o iguales que cero, existe una base dual factible y se puede aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima. Sin embargo como los valores

4 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas Necesito ayuda Determina la variable que sale de la base y la que entra Continuar y comprobar Volver Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. son mayores o iguales que cero, existe una base dual factible y se puede aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima. Sin embargo como los valores

5 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera + Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima.

6 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 0 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas + Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima.

7 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 00 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas + Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima.

8 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 00 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas + 0 Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima.

9 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 00 00 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas + 0 Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima.

10 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 00 00 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas + 0 Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. 0 Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima.

11 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 3 00 00 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas - 0 - En la segunda fila - 0 Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima.

12 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 3 00 00 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas - 0 - 2 0 En la segunda fila - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima.

13 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 23 00 00 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas - 0 - 3 0 En la segunda fila - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima.

14 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 23 00 00 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas - 0 - 30 0 En la segunda fila - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima.

15 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 23 00 00 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas - 0 - 300 0 En la segunda fila - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima.

16 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas Dado que todos valores son mayo- res o iguales que cero, existe una base dual factible y podemos aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima. En la segunda fila - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima. -

17 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas Necesito ayuda Determina la variable que sale de la base y la que entra Continuar y comprobar Dado que todos valores son mayo- res o iguales que cero, existe una base dual factible y podemos aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima. En la segunda fila - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. Para ello, incluimos en la tabla dos nuevas filas. En la primera Para que la solución sea óptima debe ser factible. Dado que dicha condición no se cumple, la solución no es óptima y no es posible aplicar el método simplex. Comprobamos si es posible aplicar el simplex dual para obtener la solución óptima. -

18 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -23 Entra en la base la variable y sale la variable Necesito ayuda Calcula los valores de la siguiente tabla del simplex Continuar y comprobar 0 -2 Volver

19 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 001 1 6 1/2110-1/27/2 Continuar y comprobar Necesito ayuda ¿La solución obtenida es óptima? 0 -2 Volver

20 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables básicas 0 0 00000 - -4-7-30 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 001 1 6 1/2110-1/27/2 1 -2 01-7 - 2010 Dado que la nueva solución básica es factible, para que sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición se cumple, la solución es óptima. 0 -2

21 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables básicas 0 0 00000 - -4-7-30 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 001 1 6 1/2110-1/27/2 1 -2 01-7 - 2010 0 -2 Solución óptima: Dado que la nueva solución básica es factible, para que sea óptima se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición se cumple, la solución es óptima.

22 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román VARIABLE QUE SALE: De entre las variables básicas con valor negativo, deja la base la que tenga valor más negativo. 0 0 00000 - 3 230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas En este caso la variable

23 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas VARIABLE QUE ENTRA: Fijada la variable que sale, se calcula el máximo de los cocientes entre los valores de los y los elementos negativos de la fila correspondiente a la variable que deja la base. : En este caso y, por tanto, la variable que entra en la base es VARIABLE QUE SALE: De entre las variables básicas con valor negativo, deja la base la que tenga valor más negativo. En este caso la variable

24 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 Variables básicas VARIABLE QUE ENTRA: Fijada la variable que sale, se calcula el máximo de los cocientes entre los valores de los y los elementos negativos de la fila correspondiente a la variable que deja la base. : En este caso y, por tanto, la variable que entra en la base es VARIABLE QUE SALE: De entre las variables básicas con valor negativo, deja la base la que tenga valor más negativo. En este caso la variable Necesito ayuda Calcula los valores de la siguiente tabla del simplex Continuar y comprobar

25 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 PRIMER PASO: Determinación del elemento pivote Elemento de la tabla correspondiente a la variable que sale de la base y la que entra. En este caso el elemento marcado, que toma el valor -2. 0 -2

26 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román /(-2) Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 1/2110-1/27/2 SEGUNDO PASO: Cálculo de los ele- mentos de la fila de la nueva variable básica Los valores de dicha fila se obtienen dividiendo la fila correspondiente en la tabla anterior por el elemento pivote. 0 7

27 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 7/2 -2 6 (-2) Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 1/2110-1/2 TERCER PASO: Cálculo de los elementos del resto de las filas Fijada la nueva variable básica (en este caso x 2 ), consideramos su fila asociada en la tabla anterior, y de ella seleccionamos el valor correspondiente a la variable de la nueva fila que queremos calcular. 001 1 Queremos calcular la primera fila de la nueva tabla. Por tanto, en nuestro caso el valor seleccionado es -2. La nueva fila se calcula restando a la mis- ma fila de la tabla anterior la fila de la va- riable básica en la tabla actual, previamen- te multiplicada por el valor seleccionado. - 0 -2

28 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 7/2 6 Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 1/2110-1/2 001 1 0 -2 Continuar y comprobar Necesito ayuda ¿La solución obtenida es óptima?

29 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 001 1 6 1/2110-1/27/2 - Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. 0 -2 - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando. +

30 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 001 1 6 1/2110-1/27/2 -2 - 0 + Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando.

31 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 001 1 6 1/2110-1/27/2 -2 - 0 + Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando.

32 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 001 1 6 1/2110-1/27/2 -2 - 0 + 0 Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando.

33 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 001 1 6 1/2110-1/27/2 -2 - 0 + 0 1 Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando.

34 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 1 Variables básicas 0 0 00000 - -4-7-30 30 0 0 2 2 22 1 1 1 10 0 45 00 4 73 001 1 6 1/2110-1/27/2 -2 - 0 + 0 Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. -7 Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando.

35 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 001 1 6 1/2110-1/27/2 -2 - 0 01 Calculamos ahora los valores de restando de la fila anterior la fila de costos. - - 12010 Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando. -7

36 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Para que la solución sea óptima, como ya las variables básicas son factibles, se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición se cumple, la solución es óptima. Calculamos ahora los valores de restando de la fila anterior la fila de costos. - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando. Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 001 1 6 1/2110-1/27/2 -2 - 0 01 12010 -7 Solución óptima:

37 AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de GranadaM.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Para que la solución sea óptima, como ya las variables básicas son factibles, se debe verificar que todos los elementos sean mayores o iguales que cero. Dado que dicha condición se cumple, la solución es óptima. Calculamos ahora los valores de restando de la fila anterior la fila de costos. - Calculamos, de la misma forma el valor de la función objetivo con la solución actual. Para ello, de forma análoga a la tabla anterior, incluimos en la nueva tabla dos nuevas filas con los valores de y. - Los valores cada se obtienen multi- plicando cada columna de la tabla por los correspondientes costes de la va- riables básicas y sumando. Variables básicas 0 0 00000 - 3230 0 0 -2 1 10 0 -7 00 -3 -2-3 001 1 6 1/2110-1/27/2 -2 - 0 01 12010 -7 Solución óptima: