1 COMBINACIÓN LINEAL

2 COMBINACIONES LINEALES Un vector v del espacio vectorial V 3 es combinación lineal de los vectores v 1, v 2, …, v n de V 3 si puede expresarse de la forma: v = α.v 1 + β.v 2 + λ.v 3 + … + μ.v n, con α, β, λ, …, μ є R PROPIEDADES Cualquier vector v є V 3 es combinación lineal de si mismo. v = 1.v, con 1 є R El vector nulo 0 є V 3 es combinación lineal de cualquier vector v y de su opuesto, -v. 0 = λ.v + λ.(-v), para Vλ є R El vector nulo 0 є V 3 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores v 1, v 2, v 3, … v n, de V 3. 0 = 0.v v v 3 + … + 0.v n, con 0 є R

3 Ejemplos EJEMPLO 1 Sea el vector w=( 0, 13, 6) y los vectores u=(1, 2, 3) y v=(-4, 5, -6). ¿Es w combinación lineal de u y v?. Solución w=λ.u+μ.v (0, 13, 6)= λ.(1, 2, 3)+μ.(-4, 5, -6) (0, 13, 6)= (λ.1, λ.2, λ.3)+(μ.(-4), μ.5, μ.(-6)) 0 = λ.1 – 4 μ 13 = λ.2 + μ.5 6 = λ.3 – 6.μ Resolviendo el sistema: λ = 4, μ = 1 Para dichos valores de los escalares λ y μ, el vector w es combinación lineal de u y v.

4 Ejemplos EJEMPLO 2 Sea el vector w=( 0, 1, 3) y los vectores u=(1, 0, 0) y v=(0, 1, 0). ¿Es w combinación lineal de u y v?. Solución w=λ.u+μ.v (0, 1, 3)= λ.(1, 0, 0)+μ.(0, 1, 0) (0, 1, 3)= (λ.1, λ.0, λ.0)+(μ.0, μ.1, μ.0) 0 = λ.1 1 = μ.1 3 = 0 Resolviendo el sistema: λ = 0, μ = 1 Pero no existe ningún par de valores λ y μ, que haga 3 = 0, luego el vector w no es combinación lineal de u y v.

5 SISTEMA GENERADOR Dado un espacio vectorial siempre es posible encontrar una serie de vectores a partir de la cual, mediante combinaciones lineales, podemos obtener cualquier vector perteneciente a dicho espacio vectorial. Un conjunto S=(v 1, v 2, ….v n ) de vectores de un espacio vectorial V 3, es un sistema generador de dicho espacio si cualquier vector v del mismo se puede expresar como combinación lineal de los vectores de S. v = α.v 1 + β.v 2 + λ.v 3 + … + μ.v n, con α, β, λ, …, μ є R EJEMPLOS v = (2, 3, – 4 )= 2.(1, 0, 0) + 3.(0, 1, 0) + (– 4).(0, 0, 1) v = (2, 3, – 4 )= 1.(1, 1, 1) + 3.(0, 1, – 2) + 1.(1, – 1, 1) v = (2, 3, – 4 )= 2.(1, 2, 3) + (– 2).(3, 2, 1) + 1.(6, 3, – 8) Como vemos un mismo vector puede expresarse como combinación lineal de otros vectores de muchas formas diferentes. En nuestro ejemplo cada tría (v 1, v 2, v 3 ) de diferentes vectores es un sistema generador del vector v, lo que llamaremos BASE.

6 DEPENDENCIA LINEAL Se dice que n vectores, v 1, v 2, ….v n, de un espacio vectorial V, son linealmente dependientes cuando alguno de ellos es combinación lineal de los demás. Al conjunto S=(v 1, v 2, ….v n ) formado por dichos vectores se le denomina conjunto ligado o linealmente dependiente. Asimismo un conjunto S=(v 1, v 2, ….v n ) de vectores es libre o linealmente independiente cuando ninguno de ellos es combinación lineal de los demás. EJEMPLO v 1 = (1, 2, 3), v 2 = (4, 5, 6), v 3 = (5, 7, 9) El conjunto S=(v 1, v 2, v 3 ) es un conjunto ligado o linealmente dependiente, pues v 3 = v 1 + v 2 El tercer vector es combinación lineal de los dos primeros. También se dice que depende linealmente de los dos primeros. v 3 = α.v 1 + β.v 2, con α=1, β=1 / α, β є R

7 INDEPENDENCIA LINEAL DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Sean u y v dos vectores de R 3 y α,ß  R. El vector w = α  u+ß  v se dice que es una combinación lineal de los vectores u y v. También se suele decir que depende linealmente de u y v. EJEMPLO:(3,16,5) = 2  (3,5,1) + 3  (-1,2,1) Dos vectores u, v  R 3 son linealmente dependientes si existen dos escalares α,ß  R, al menos uno de ellos no nulo, tales que α  u+ß  v=0. EJEMPLO: (3,2,1) y (6,4,2) son lin. dependientes, pues existen α=2 y ß=-1 tales que: 2  (3,2,1)+(-1)  (6,4,2)=(0,0­,0). Los vectores u y v son linealmente independientes cuando α  u+ß  v=w implica que α=0 y ß=0. EJEMPLO: (4,3,0) y (1,2,5) son linealmente independientes pues de α(4,3,0)+ß(1,2,5) = (4α,3α,0)+(ß,2ß,5ß) = (4α+ß,3α+2ß,5ß) = (0,0,0)  α=0 y ß=0.

8 EJEMPLO 1 v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1) Miramos si son linealmente independientes: λ 1.v 1 + λ 2.v 2 + λ 3.v 3 = 0 λ 1.(1,0,0) + λ 2.(0,1,0) + λ 3.(0,0,1) = 0 (λ 1,0,0) + (0,λ 2,0) + (0,0,λ 3 ) = 0 (λ 1,λ 2,λ 3 ) = 0  (λ 1,λ 2,λ 3 ) = (0,0,0)  λ 1 = 0, λ 2 = 0, λ 3 = 0 Vemos que todos los coeficientes escalares son ceros. Luego el conjunto S=(v 1, v 2,v 3 ) es un conjunto linealmente independiente. EJEMPLO 2 v 1 = (1, 2, 3), v 2 = (4, 5, 6), v 3 = (2, 4, 6) Miramos si son linealmente dependientes: λ 1.v 1 + λ 2.v 2 + λ 3.v 3 = 0 Vemos que: 2.v v 2 + (- 1).v 4 = 0 Para λ 1 = 2, λ 2 =0, y λ 3 = (-1) Luego el conjunto S=(v 1, v 2,v 3 ) es un conjunto ligado o linealmente dependiente, al no ser todos los coeficientes ceros.