Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T. Medida de ángulos Razones trigonométricas Relaciones entre las razones trigonométricas Representación en la circunferencia goniométrica Signo de las razones trigonométricas Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos principales Relación entre las razones trigonométricas de ángulos opuestos, complementarios, … Teorema del Seno Teorema del Coseno Resolución de triángulos cualesquiera Razones del ángulo doble y mitad Ecuaciones trigonométricas

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS b c Y sus inversas:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS b b' c c' Si el ángulo se mantiene, los triángulos rectángulos que obtenemos son semejantes, por lo que: El seno no varía: El coseno no varía: La tangente no varía:

Por el teorema de Pitágoras RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS a b Por el teorema de Pitágoras c

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Relación Fundamental de Trigonometría 1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA, radio = 1 en el primer cuadrante 90º 180º 0º 270º

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA, radio = 1 en el segundo cuadrante 90º 180º 0º 270º

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA, radio = 1 90º 180º 0º en el tercer cuadrante 270º

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA, radio = 1 90º 180º 0º en el cuarto cuadrante 270º

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Seno y Cosecante + + _ _ Coseno y Secante _ + _ + Tangente y Cotangente _ + _ +

VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360 º sen 1 -1 cos tg cosec sec cotg

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a. sen (-a) = -sen a cos (-a) = cos a tg (-a) = -tg a a -a EJEMPLO: sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º cos 330º = cos (-30º) = cos 30º tg 330º = tg (-30º) = -tg 30º

Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a. sen (90º-a) = cos a cos (90º-a) = sen a tg (90º-a) = cotga 90º-a EJEMPLO: a sen 60º = cos 30º cos 60º = sen 30º tg 60º = tg30º

Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a. sen (180º-a) = sen a cos (180º-a) = -cos a tg (180º-a) = -tg a 180º-a a EJEMPLO: sen 150º = sen 30º cos 150º = -cos 30º tg 150º = -tg 30º

Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a. sen (180º+a) = -sen a cos (180º+a) = -cos a tg (180º+a) = tg a 180º+a a EJEMPLO: sen 210º = -sen 30º cos 210º = -cos 30º tg 210º = tg 30º

Teorema de los Senos C b a h m n Igualando la h en ambas ecuaciones B Y en general se tiene: TEOREMA DE LOS SENOS: En todo triángulo la razón entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante ……

¡Si el triángulo es rectángulo queda el Teorema de Pitágoras! Teorema del Coseno C b a h m n H B A c Para cualquier lado queda: ¡Si el triángulo es rectángulo queda el Teorema de Pitágoras!

Resolución de triángulos cualesquiera Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de ellos (que no pueden ser sólo los 3 ángulos, es decir, al menos ha de conocerse un lado) a b B c Pasos que se recomiendan: I. Aplicar que la suma de los 3 ángulos es 180º II. Si es un triángulo rectángulo, intentar usar las razones trigonométricas III. Si es un triángulo rectángulo, intentar aplicar el Teorema de Pitágoras IV. Intentar aplicar el Teorema de los Senos V. Intentar aplicar el Teorema del Coseno A

Razones del ángulo doble Razones del ángulo mitad

Ecuaciones trigonométricas: “mini-ecuaciones” Son de la forma: En estas ecuaciones intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas, y por tanto sus soluciones se presentan en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas. Por ejemplo: Hay una solución inmediata que es: Pero los ángulos suplementarios tienen el mismo seno, luego otra solución válida es: Por otro lado, sumando o restando vueltas completas a un ángulo, obtenemos otro ángulo cuyas razones trigonométricas coinciden, es decir: Y podemos escribir las infinitas soluciones como:

Ecuaciones trigonométricas Para resolver una ecuación trigonométrica hay que intentar llegar a una o varias “mini-ecuaciones” probando a: Usar las fórmulas adecuadas para dejar sólo una razón trigonométrica: Factorizar, por ejemplo sacando factor común: Hacer un cambio de variable: