Matemáticas Tema: DERIVADAS

Definición de derivada La derivada de una función es la razón de cambio de dicha función cuando cambia x, es decir, cuánto cambian los valores de y, cuando x cambia una cierta cantidad.

Primeros ejemplos Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas, con la intención de que ustedes vayan deduciendo un procedimiento (regla) para resolverlas.

Regla para encontrar derivadas Sea la función: La derivada de esta función es:

La derivada de esta función es: Derivadas especiales Sea la función: La derivada de esta función es:

La derivada de esta función es: Derivadas especiales Sea la función: La derivada de esta función es:

La derivada de esta función es: Ejemplos de derivadas Sea la función: La derivada de esta función es:

La derivada de esta función es: Ejemplos de derivadas Sea la función: La derivada de esta función es:

La derivada de esta función es: Ejemplos de derivadas Sea la función: La derivada de esta función es:

Derivada de una suma y diferencia de funciones Sea la función: La derivada de la suma o diferencia es:

Ejemplos Sean las funciones:

Ejercicios propuestos Deriva las siguientes funciones:

Derivada de un producto de funciones Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

Ejemplo Consideremos el siguiente producto de funciones Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4 y recordando la regla para derivar productos de funciones tenemos que

Ejercicios propuestos Resuelve el producto de funciones:

Ejercicios propuestos Deriva este otro producto de funciones:

Derivada de un producto de varios factores Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir su derivada será:

Derivemos la siguiente expresión: Ejemplo Derivemos la siguiente expresión:

Derivadas Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

Consideremos el siguiente cociente de funciones Ejemplo Consideremos el siguiente cociente de funciones Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar productos de funciones tenemos que

Ejemplo Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a la mínima expresión, como fue en este caso.

Ejercicio propuesto Sea 6 5

TAREA PLATAFORMA ALEKS HASTA EL DOMINGO 12 PM Ejercicio propuesto Sea Realizar resolución de ejercicios del 13 al 28 de la página #187 del libro Calculo de una variable de George Thomas TAREA PLATAFORMA ALEKS HASTA EL DOMINGO 12 PM

Derivadas Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

Consideremos el siguiente cociente de funciones Ejemplo Consideremos el siguiente cociente de funciones Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la cadena tenemos que

Ejemplo Sea La función puede escribirse también de la siguiente forma: y

Ejemplo Sea

Ejemplo

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR  

Si seguimos el proceso anterior al derivar la función encontrada, obtenemos las derribadas de orden superior

Tercera derivada   Segunda derivada Dada la función f(x) Derivamos f(x)

Dada la función f(x) Segunda derivada Tercera derivada Cuarta derivada   Segunda derivada Dada la función f(x) Derivamos f(x) Cuarta derivada    

Hay que tener en presente que    

Ejemplo UNO  

Ejemplo DOS  

Ejemplo TRES  

ACTIVIDAD DETERMINE LAS TERCERAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES                  

Derivadas Para calcular la derivada de las funciones logarítmicas, se aplican teoremas específicos. La siguiente lista de fórmulas, muestra los teoremas que se utilizan en el cálculo de las derivadas de esta sección

Consideremos las siguientes leyes de logaritmos

Ejemplo Consideremos la siguiente función logaritmica Claramente podemos identificar h(x)=ln(9x) y recordando los teoremas tenemos que

Claramente podemos identificar h(x)=ln y recordando los teoremas Ejemplo Sea Claramente podemos identificar h(x)=ln y recordando los teoremas

Ejemplo Sea tenemos que

Ejemplo Sea tenemos que

ACTIVIDAD DETERMINE LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES

Derivadas Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas, se aplican teoremas específicos. La siguiente lista de fórmulas, muestra los teoremas que se utilizan en el cálculo de las derivadas de esta sección

Aplicamos regla de la cadena y tenemos Ejemplo Sea Aplicamos regla de la cadena y tenemos Ordenando tenemos

Aplicamos regla de la cadena y tenemos Ejemplo Sea Interpretamos Aplicamos regla de la cadena y tenemos Ordenando tenemos

Simplificando tenemos

Aplicamos regla de la cadena y tenemos Ejemplo Sea Interpretamos Aplicamos regla de la cadena y tenemos Ordenando tenemos

Interpretando tenemos

ACTIVIDAD DETERMINE LAS DERIVADAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS