Curso Geometría Analítica Sesión 4. La parábola

Secuencia didáctica Geometría Analítica 3 Septiembre 17 La parábola Ecuación de la parábola Vértice, foco y distancia focal Asociación de ecuaciones con las curvas correspondientes Entender la importancia y las posibles aplicaciones de las parábolas Mostrar algunos ejemplos de la vida real, donde intervienen las parábolas Discusión de los estudiantes, en torno a la existencia de parábolas Discusión 10 min Lista de posibles ejemplos de parábolas en la naturales o en artefactos fabricados Construcción de una parábola, a partir de su foco y su directriz, deducción de la ecuación Construcción de varias parábolas a partir de las condiciones de definición Uso del Laboratorio de Geometría Analítica 30 min Construcciones geométricas realizadas con el laboratorio Construir las soluciones de los problemas propuestos como tarea de cada Descripción del profesor y trabajo de los estudiantes 10 min + 1:30 horas Soluciones a los problemas planteados Comprensión de conceptos, capacidad de razonamiento y solución de problemas Discusión en clase y tareas encargadas para su solución colaborativa o individual 30% participación en clase 70% trabajo en casa Laboratorio de Geometría Analítica Ninguno Geometría Analítica de Oteyza, Emma Lam Osnaya y otros Enrique Calderón A. Planteamiento de problemas orientados a mostrar las aplicaciones de la parábola

La definición de la parábola apertura

Introducción Después del círculo, estudiado y utilizado desde los tiempos de Euclides, la parábola fue también conocida y estudiada cuando los hombres se percataron de su existencia. Es muy probable que en los tiempos antiguos no estuviesen identificadas como casos particulares de una misma curva.

En busca de una ecuación para la parábola Por los escritos de Galileo sabemos que en el Renacimiento, se tenía plenamente identificada la curva, a la que daban ya el nombre de parábola. Galileo que investigaba los movimientos de los cuerpos, intentó obtener una ecuación que la representase, pero los conocimientos matemáticos aun no lo permitían. Las primeras formas conocidas, fueron ecuaciones de segundo grado que resultaban de la multiplicación de las ecuaciones de dos rectas. La geometría analítica, permitió obtener una definición diferente en términos de distancias.

Construcción de una parábola a partir de su foco y su directriz Desarrollo

Construcción de una parábola  

Construcción de una parábola Tracemos una recta paralela a la directriz d, a una distancia de 5 unidades de esta y una circunferencia con centro en f (0,2) y radio igual a 5 unidades. Estas dos curvas nos determinan los puntos p1(-4.9,3) y p2(4.9,3) distantes del foco y de la directriz 5 unidades.

Construcción de una parábola De igual manera, trazamos otra paralela a la directriz d, a 6 unidades de esta, y una circunferencia con centro en f y radio igual a 6 unidades. Estas dos curvas no determinan los puntos P3(-5.65,4) y P4(5.65,4), los cuales se encuentran a 6 unidades del foco y de la directriz respectivamente.

Construcción de una parábola Encontremos los puntos p3(-4.9,3) y p4(4.9,3) distantes del foco y de la directriz 6 unidades. De la misma manera encontremos un puntos más P5(-5.65,4) y P6(5.65,4). La parábola empieza a tomar forma, permitiéndonos observar que la directriz define la dirección de la parábola, o mas bien de su eje de simetría el cual es perpendicular a ella y contiene tanto al vértice como al foco f. De esta manera, a partir de su definición podemos construir parábolas con cualquier dirección y distancia focal (separación entre el vértice y el foco)

Construcción de una parábola La parábola empieza a tomar forma, permitiéndonos observar que la directriz define la dirección de la parábola, o mas bien que su eje de simetría el cual es perpendicular a ella y contiene tanto al vértice como al foco f. De esta manera, a partir de su definición podemos construir parábolas con cualquier dirección y distancia focal (separación entre el vértice y el foco)

Construcción de una parábola Observemos que al tomar cualquier punto de la parábola, al trazar segmentos de este al foco y a la directriz estos tienen la misma longitud.

La ecuación de la parábola   y^2= 4xP Es interesante notar que al trazar una paralela a la directriz, que pasa por el foco, la apertura de la parábola es de 4P (y - k)^2 = 4P*(x-h)

La ecuación de la parábola Para el caso de parábolas con el eje de simetría vertical, como la de la figura, la obtención de la ecuación general, es igual a la de las parábolas con eje horizontal, intercambiando los roles de x y y. Como d1 = d2 tenemos que : y + P = (x^2 + (y – P)^2)^0.5 por lo que: (y + P)^2 = x^2 + (y – P)^2 de donde queda: 2yP = x^2 – 2yP de modo que: Si el vértice de la parábola se mueve al punto p1(h ,k) la ecuación se transforma a: x^2=4yP (x – h)^2 = 4P*(y – k)

Aplicaciones La parábola, estudiada inicialmente por Galileo en relación con las trayectorias de los cuerpos lanzados al espacio y atraídas por la Tierra, tiene varias aplicaciones importantes. Así cuando se lanza un proyectil, a una velocidad determinada, este llegará mas lejos si el ángulo de disparo es de 45º respecto a la horizontal (curva morada) El estudio de las trayectorias parabólicas fue utilizado durante siglos para generar tablas de artillería. La forma de las diferentes curvas obtenidas con el Laboratorio de Geometría Analítica de galileo se observan en esta gráfica, el estudio completo requiere sin embargo de herramientas de calculo diferencial, por involucrar aspectos de velocidad de los proyectiles.

Ejercicio Uno de los arcos parabólicos que se forma en la entrada principal de la iglesia de San Antonio ubicada en Bethania, Arco que mide en su base 14 metros y su altura máxima 15 metros, es colocado en un eje de coordenadas en donde el eje de simetría coincide con el eje y, la base con el eje x . Hallar la ecuación de la parábola en su forma ordinaria de dicho arco parabólico

Aplicaciones Problema a desarrollar. En la tabla adjunta se incluyen las alturas máximas y los alcances logrados por los diferentes proyectiles, lanzados todos a la misma velocidad. Se requiere obtener las ecuaciones de las trayectorias de esos proyectiles, suponiendo que en todos los casos, los proyectiles se disparan desde el punto (0,0). Encontrar la posición del foco de la parábola en todos los casos y marcarla en la gráfica. Trayectoria Altura Max. Alcance 1 39 29.6 2 33 46.2 3 25 56.4 4 20 66.6 5 10.5 63.9 6 6.7 60 La ecuación de las parábolas, con eje de simetría vertical como es el caso, tiene la forma (x-h)^2 = 4P *(y-k) donde (h,k) son las coordenadas del vértice y P es la distancia del vértice al foco. .

Aplicaciones. Antenas parabólicas y faros Una de las propiedades mas interesantes de las parábolas es que todos las líneas que son paralelas al eje de la parábola son reflejadas por esta hacia su foco, tal como se observa en la figura. La propiedad es innata a todas las parábolas, a partir de que para cualquier punto de la parábola, su distancia al foco f es igual a su distancia a la directriz de la parábola. Veamos porque: Esta propiedad tiene una importancia singular para captar y transmitir señales y ondas electromagnéticas incluyendo la luz y el sonido

CIERRRE 2. Un arco de concreto salva un espacio de 40 metros, y una carretera de 20 metros de ancho pasa por debajo de él. La altura libre mínima sobre la carretera debe ser de 10 metros. ¿Cuál es la altura del arco más pequeño que se puede emplear?