1) Para multiplicar A x X, primero consideramos de qué clase es cada una de las matrices; la matriz A que tiene 3 filas y 3 columnas es clase 3x3 la matriz X que tiene 3 filas y 1 columna es clase 3x1 A (3x3) x X (3x1) = B (3x1) Coinciden el número de columnas de A con las filas de X A x X 15x + 20y + 40z 0x + 25y + 50z 26x + 40y + 8z METODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS 3 X 3

Si A  X = B A  X = B se puede escribir como un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas para hallar los precios unitarios debemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos. Vamos a usar el método de los determinantes A  X es una matriz de 3 filas y 1 columna, igual que B

 Es el determinante principal, conformado por los coeficientes de las incógnitas ordenados en filas y columnas  i son los determinantes que resultan de reemplazar los coeficientes de la variable i por la columna de los resultados del sistema en el determinante  Con todos los valores de  conocidos buscaremos

Resolvemos cada uno de los determinantes Agregamos las dos primeras filas Y sumamos los productos de las diagonales A esto le restamos la suma del producto de las contradiagonales Agregamos las dos primeras filas Y sumamos los productos de las diagonales A esto le restamos la suma del producto de las contradiagonales

La fotocopiadora 1 cobra $ 0,04 La fotocopiadora 2 cobra $ 0,03 La fotocopiadora 3 cobra $ 0,04 Misma técnica para resolver  y y  z

Inecuaciones con una incógnita U na inecuación es toda desigualdad en la que intervienen incógnitas o valores desconocidos. E n las desigualdades se emplean símbolos que es necesario saber leer e interpretar. Signo:Se lee: x < - 3x es siempre MENOR que - 3 x ≤ 5x es MENOR o IGUAL que 5 x > 7x es siempre MAYOR que 7 x ≥ - 2x es MAYOR o IGUAL que - 2

SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas, tales que al sustituirlos en la inecuación la desigualdad sea cierta. Ejemplos: x > 4  x = 5 es solución; también x = 6, x = 7, etc x 2 – 4 < 0  x = 1 es solución; también x = - 1, x = 0, etc EQUIVALENCIA DE INECUACIONES Dos o más inecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución. Ejemplos: x > 4yx – 4 > 0son inecuaciones equivalentes. x 2 – 4 < 0y(x + 2).(x – 2) < 0 son equivalentes.

GRÁFICAS DE SOLUCIONES DE INECUACIONES: x ≥ 4  x ≥ 4 – 2  x ≥ 2 Solución = [ 2, + oo ) Como x puede valer 2, se empleará intervalos semicerrados. En la gráfica, la inclusión del 2 se representa por un punto sólido. 2.-2x < x -5  2x – x < - 5  x < - 5 Solución = ( - oo, - 5 ) Como x no puede valer - 5, se empleará intervalos abiertos. En la gráfica, la exclusión del - 5 se representa por un punto hueco. 2 R R - 5

PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la dada. Si x – 3 > 1  x – >  x > 4 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número real positivo, resulta una inecuación equivalente a la dada. Si x / 3 < 5  3. x / 3 < 3. 5  x < 15 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número negativo, resulta una inecuación equivalente a la dada, pero con el signo de desigualdad contrario al de la inecuación original. Si - x < 3  (- 1).( - x ) > (- 1).3  x > - 3 Resolución de inecuaciones

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Sean las inecuaciones: x ≥ 42.-2x ≤ x -53.-x > x + 2 SOLUCIONES: x ≥ 4  x ≥ 4 – 2  x ≥ 2 Solución = [ 2, + oo ) 2.-2x < x -5  2x – x < - 5  x < - 5 Solución = ( - oo, - 5 ) 3.-x > x + 2  x - x > 2  0 > 2 FALSO Solución = Ø (Conjunto vacío)

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Sea la inecuación: 2 – x x – – > x 5 6 SOLUCIÓN: 2 – x x – – > x 5 6 6(2 – x) – 5( x – 3 ) > x – 6x – 5x > 30x 87 > 41x  x < 87/41 Solución = (- oo, 87/41)

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Sean las inecuaciones: 5.-x – 1 x < SOLUCIONES: 5 3.(x – 1) x < (x – 1) + 30 < 5.x x – < 5.x 5.- – < 5.x – 3.x < 2.x  x > 13,5 5.- Solución = ( 13,5, oo )

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES Sean las inecuaciones: ≥ 4 x + 1 SOLUCIONES: (x+1) ≥ 0 x (x+1) – 4.(x + 1) ≥ 0 x – x ≥ 0  Las raíces de numerador y denominador son el 1 y el -1 x Se estudia el signo en (-oo, -1), (- 1, 1] y [1, +oo) 6.-Solución = ( - oo, 1 ] – { - 1}

Valor Absoluto |15| = 15 |-4| = -(-4) = 4 |0| = 0 Obs:

Ecuaciones con Valor Absoluto Utilizando las propiedades, es posible resolver ecuaciones con valor absoluto. No obstante, es necesario comprobar si el conjunto solución satisface la ecuación resuelta.

Ecuaciones con Valor Absoluto También es posible resolver las ecuaciones con valor absoluto, utilizando la definición. Por ejemplo: Sabemos que: Lo que equivale a decir: Entonces: C.S. = {-2;5}

Desigualdades con Valor Absoluto

Ejercicios: Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto.