Unidad 2 Capítulo IX Ecuación de Riccati

La ecuación diferencial de primer orden de la forma: U-2. Cap. IX. Ecuación de Riccati La ecuación diferencial de primer orden de la forma: se denomina Ecuación de Riccati. En la mayoría de textos no se plantea la resolución de esta ecuación, sino una búsqueda de la solución general a partir de una solución particular conocida… lo que resulta ser inútil, debido a que en los fenómenos cuyo modelo es una ecuación de Riccati, no se conoce ni se puede intuir alguna de sus soluciones particulares.

Sea la ecuación de Riccati: U-2. Cap. IX. Ecuación de Riccati En este curso se establece una técnica para transformar la ecuación de Riccati en una lineal de segundo orden, lo que conducirá a su solución, usando el método apropiado. Sea la ecuación de Riccati: Como no se conoce la solución y, es posible pedirle un par de requisitos: 1.- Sea y = v/p, entonces: y así:

2.- Con el objetivo de eliminar el término cuadrático, se propone: U-2. Cap. IX. Ecuación de Riccati 2.- Con el objetivo de eliminar el término cuadrático, se propone: de manera que, así: o bien:

y con ésta, se obtiene la solución general: U-2. Cap. IX. Ecuación de Riccati La ecuación que resulta, lineal de segundo orden, se resuelve usando un método apropiado para obtener: Esta función y su derivada, permiten determinar v en la forma establecida: y con ésta, se obtiene la solución general:

Ejemplo: Transforme la siguiente ecuación de Riccati: U-2. Cap. IX. Ecuación de Riccati Ejemplo: Transforme la siguiente ecuación de Riccati: Solución: p(x) = 2e2x y como y = v/p, entonces: Así, al sustituir y simplificar en la ecuación original se tiene: o bien:

Ahora, la aplicación de la segunda sustitución propuesta: U-2. Cap. IX. Ecuación de Riccati Ahora, la aplicación de la segunda sustitución propuesta: en la ecuación anterior resulta en: Por lo tanto, la ecuación de Riccati original se transforma en la siguiente ecuación diferencial lineal de segundo orden

Ejemplo: Transforme la siguiente ecuación de Riccati: U-2. Cap. IX. Ecuación de Riccati Ejemplo: Transforme la siguiente ecuación de Riccati: Solución: como p(x) = 1, la primera sustitución se puede obviar, por lo que: Así, al sustituir y simplificar se tiene: o bien: