ALGUNOS EJERCICIOS

Ejercicio 1 Obtención de imágenes y determinación pares ordenados de la función 𝑓:𝑅→𝑅 𝑓 𝑥 = 𝟐 𝒙 𝟑 −𝟒 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟓 +𝟕 f(x) es un función polinomio de variable x, x puede tomar cualquier valor Real La imagen se obtiene obteniendo el valor numérico del polinomio (reemplazando) x f(x)=𝟐 𝒙 𝟑 −𝟒 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟓 +𝟕 imagen (x;y) ∈ f 1 -2 f(1)=2. 𝟏 3 −4. 𝟏 2 + 𝟏 5 +7=6 𝑓 𝟏 =6 (𝟏;6)

Coeficiente principal Término independiente Ejercicio2: dadas las siguientes funciones polinomicas completar el cuadro Función Polinomio De grado Coeficiente principal Término independiente Ordenada al origen 𝒇(𝟎) 𝑓 𝑥 =−𝑥 3 +3 𝑥 4 +2𝑥 𝒇 𝟎 =𝟎 4 3 𝑓 𝑥 ==7 𝑥 3 − 𝑥 2 +5𝑥−4 𝑓 𝑥 =−𝑥 5 − 𝑥 2 −6 𝑥 4 −1 𝑓 𝑥 =𝑥 2 +3 𝑓 𝑥 =𝑥 2 −6 𝑥 3 −2

Tiene raíces de multiplicidad IMPAR en Ejercicio3 Analizar la multiplicidad de las raíces y sus consecuencia en el gráfico para así determinar cual es el gráfico que le corresponde Función Tiene raíces de multiplicidad PAR en consecuencia Tiene raíces de multiplicidad IMPAR en 𝑓 𝑥 = 1 2 (x +1) 3 (x −2) Revota Atraviesa 𝑓 𝑥 =− 1 4 (x +2) 2 (x −1) Revota   Atraviesa 𝑓 𝑥 =−3𝑥 (x +1) 2 (x −1)   𝑓 𝑥 =𝑥 (x +1) 3 (x −2)  Revota  x1= -2   x1= 1 𝑓 𝑥 =− 1 4 (x +2) 2 (x −1)

Ejercicios Ejercicio 5 Dado el grafico de 𝑓 función polinómica de grado 3 completar la información Ejercicio 4 1) Tiene dos raíces: 𝑥 1 = ____ 𝑥 2 =____ 2)Una de ella es de multiplicidad de orden 2 : _________ y la otra : _____ de orden 1. 3)El punto P=(3;3) es punto de la gráfica y punto de la función entonces 𝑓(3)=___ Dada 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −2 𝑥 2 −4𝑥+8 se pide : P=(3,3) 1) Ordenada al origen: 𝑓 0 = 2) Raíces 𝑓 𝑥 =0 𝑥 3 −2 𝑥 2 −4𝑥+8 =0 3)Expresión factoreada 𝑓 𝑥 = 4) Con los datos obtenidos la expresión factoreada de 𝑓 𝑓 𝑥 =𝑎. _______________________ Y como (3;3) es punto de la función se verifica : Entonces 𝑎=__ Y 𝑓 𝑥 = -∞ +∞ 4) Signo de 𝑓 𝑒𝑛 𝑅 Intervalo x∈𝑰𝒏𝒕 Signo de 𝑓(𝑥)=

Ejercicio7 Asigna la fórmula al gráfico que le corresponde Ejercicio6: Obtener la fórmula de la función polinómica teniendo en cuenta la información dada 𝑓es una función polinómica de grado tres que corta los ejes en los puntos (-2, 0) (-1 ; 0) (3;0) y ( 0 ; 9) Si 𝑓 𝑥 =2 (𝑥+1) 𝑚 . (𝑥−1) 𝑛 es de grado 5 y 𝑓 0 =2, analiza e indica el valor de 𝑚 y 𝑛 y determina los conjuntos 𝐶 0, 𝐶 +, 𝐶 − Las raíces de una función de grado 4 son: 𝑥 1 =2 𝑥 2 =−1 y el coeficiente principal es 𝑎=1 ¿Cuáles son las posibles fórmulas de la función? Grafícalas Ejercicio7 Asigna la fórmula al gráfico que le corresponde a)𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥+1 𝑥−1 𝑥−2 b)𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥+1 2 𝑥−2 2 c) 𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥+1 2 𝑥−2 𝑑)𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥+1 𝑥−1 2 𝑥−2

Ejercicios Ejercicio8 Graficar las siguientes funciones polinómicas , obtener la expresión factoreada y aplicar teorema de Bolsano o multiplicidas de las raices 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 7𝑥2 +11𝑥 −5 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 10𝑥2 + 9 𝑓(𝑥) = 5𝑥3 –10𝑥2 − 5𝑥 +10 𝑓(𝑥) = 2𝑥5 + 3𝑥4 –5𝑥3 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 – 18𝑥2 Ejercicio9 Graficar las siguientes funciones polinómicas con un graficador y luego determinar OO Raíces C+ C- 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 −2 𝑥 3 +8𝑥2 +7𝑥+1 𝑓(𝑥) = −6𝑥3 −2𝑥 +1 𝑓(𝑥) = 6𝑥4 –7𝑥3 −7𝑥 +9

ALGUNOS EJERCICIOS RESUELTOS

Obtención de imágenes y determinación pares ordenados de la función 𝑓:𝑅→𝑅 𝑓 𝑥 = 𝟐 𝒙 𝟑 −𝟒 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟓 +𝟕 f(x) es un función polinomio de variable x, x puede tomar cualquier valor Real La imagen se obtiene obteniendo el valor numérico del polinomio (reemplazando) x f(x)=𝟐 𝒙 𝟑 −𝟒 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟓 +𝟕 imagen (x;y) ∈ f 1 -2 6 (1;6) f(1)=2. 𝟏 3 −4. 𝟏 2 + 𝟏 5 +7 f(-2)=2. (−𝟐) 3 −4. (−𝟐) 2 + (−𝟐) 5 +7 -57 (-2;-57) 7 f(0)=2. (𝟎) 3 −4. (𝟎) 2 + (𝟎) 5 +7 (0; 7)

Coeficiente principal Término independiente Ejercicio2: dadas las siguientes funciones polinomicas completar el cuadro Función Polinomio De grado Coeficiente principal Término independiente Ordenada al origen 𝒇(𝟎) 𝑓 𝑥 =−𝑥 3 +3 𝑥 4 +2𝑥 3 𝒇 𝟎 =𝟎 4 𝑓 𝑥 =7 𝑥 3 − 𝑥 2 +5𝑥−4 7 − 4 𝒇 𝟎 =−𝟒 3 - 1 − 1 𝑓 𝑥 =−𝑥 5 − 𝑥 2 −6 𝑥 4 −1 5 𝒇 𝟎 =−𝟏 𝑓 𝑥 =𝑥 2 +3 1 3 𝒇 𝟎 =𝟑 2 3 - 6 𝑓 𝑥 =𝑥 2 −6 𝑥 3 −2 −2 𝒇 𝟎 =−𝟐

Tiene raíces de multiplicidad IMPAR en Ejercicio3 Analizar la multiplicidad de las raíces y sus consecuencia en el gráfico para así determinar cual es el gráfico que le corresponde Función Tiene raíces de multiplicidad PAR en consecuencia Tiene raíces de multiplicidad IMPAR en 𝑓 𝑥 = 1 2 (x +1) 3 (x −2) Revota Atraviesa 𝑓 𝑥 =− 1 4 (x +2) 2 (x −1)  xI= -2 Revota  xI= 1  Atraviesa 𝑓 𝑥 =−3𝑥 (x +1) 2 (x −1)   𝑓 𝑥 =𝑥 (x +1) 3 (x −2)  Revota 𝑥 𝑖 = -1 𝑥 𝑖 = 2 𝑥 𝑖 = -1 𝑥 𝑖 = 1 𝑥 𝑖 = 0 𝑥 𝑖 = -1 𝑥 𝑖 = 0 𝑥 𝑖 = 1 𝑓 𝑥 =−3𝑥 (x +1) 2 (x −1) 𝑓 𝑥 = 1 2 (x +1) 3 (x −2) 𝑓 𝑥 =− 1 4 (x +2) 2 (x −1) 𝑓 𝑥 =𝑥 (x +1) 3 (x −2)

Ejercicios Ejercicio 5 dado el grafico de f función polinómica completar la información Ejercicio 4 𝑓 es una función polinómica de grado ____ Tiene dos raíces: 𝑥 1 = ____ 𝑥 2 =____ Una de ella es de multiplicidad de orden 2 : _________ y la otra : _____ de orden 1. El punto P=(3;3) es punto de la gráfica y punto de la función entonces 𝑓(3)=___ Dada 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −2 𝑥 2 −4𝑥+8 se pide 3 2 1) Ordenada al origen: 𝑓 0 = 8 𝑥= 2 𝑥=0 2) Raíces 𝑓 𝑥 =0 𝑥 3 −2 𝑥 2 −4𝑥+8 =0 𝑥+2 𝑥−2 2 =0 (ver más) 𝑥=−2 𝑥=2 3 3) Expresión factoreada (ver más) 𝑓 𝑥 = 𝑥+2 𝑥−2 2 Con los datos obtenidos la expresión factoreada de 𝑓 𝑓 𝑥 =𝑎. _______________________ Y como (3;3) es punto de la función se verifica : Entonces 𝑎=__ Y -∞ +∞ 𝑥−0 𝑥−2 2 4) Signo de 𝑓 𝑒𝑛 𝑅 𝑥=−2 𝑥=2 Intervalo x∈𝑰𝒏𝒕 Signo de 𝑓(𝑥)= 𝑥+2 𝑥−2 2 3=𝑎 . (3−0) (3−2) 2 3=𝑎 . 3 −∞,−2 𝑥=−3 1 −2, 2 𝑥=−1 𝑓(𝑥)=𝑥 (𝑥−2) 2 2 , ∞ 𝑥=3

Ejercicio6: Obtener la fórmula de la función polinómica teniendo en cuenta la información dada 𝑓es una función polinómica de grado tres que corta los ejes en los puntos (-2, 0) (-1 ; 0) (3;0) y ( 0 ; 9) b) Si 𝑓 𝑥 =2 (𝑥+1) 𝑚 . (𝑥−1) 𝑛 es de grado 5 y 𝑓 0 =2, analiza e indica el valor de 𝑚 y 𝑛 y determina los conjuntos 𝐶 0, 𝐶 +, 𝐶 − 𝒙=−𝟐 𝒙=−𝟏 𝒚 𝒙=𝟑 son las raíces porque tienen imagen cero Al conocer las raíces podemos dar la siguiente expresión de la función 𝒇 𝒙 =𝒂 (𝒙+𝟐)(𝒙+𝟏)(𝒙−𝟑) S𝐢 𝐭𝐞𝐧𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐧 𝐜𝐮𝐞𝐧𝐭𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝒇 𝟎 =𝟗 𝟗=𝒂 (𝟎+𝟐)(𝟎+𝟏)(𝟎−𝟑) 𝟗=𝒂 −𝟔 → 𝒂=− 𝟑 𝟐 Expresión de la función 𝒇 𝒙 =− 𝟑 𝟐 (𝒙+𝟐)(𝒙+𝟏)(𝒙−𝟑) Si el grado de 𝒇 es 5 entonces 𝒎 + 𝒏 = 𝟓 y si 𝒇 𝟎 = 𝟐 ↔𝒇 𝟎 =𝟐 (𝟎+𝟏) 𝒎 . (𝟎−𝟏) 𝒏 ↔ 𝟐=𝟐 .𝟏 𝒎 . (−𝟏) 𝒏 entonces n es par asi de positivo por lo que 𝒇 tiene dos posibilidades 𝒇 𝒙 =𝟐 (𝒙+𝟏) 𝟏 . (𝒙−𝟏) 𝟒 𝒐 𝑓 𝑥 =2 (𝑥+1) 3 . (𝑥−1) 2 Por lo tanto en 𝐱=−𝟏 la gráfica atraviesa el ejex y en 𝒙= 𝟏 se produce un revote sobre el mismo −∞ +∞ −1 1 𝑓 0 =+2 𝐴𝑡𝑟. R𝑒𝑣. 𝑪 𝟎 = −𝟏,𝟏 𝑪 + = −𝟏 , 𝟏 ∪ 𝟏 , −∞ 𝑪 − = −∞ , −𝟏

c) Las raíces de una función de grado 4 son: 𝑥 1 =2 𝑥 2 =−1 y el coeficiente principal es 𝑎=1 ¿Cuáles son las posibles fórmulas de la función? Grafícalas En el caso que 𝒇 𝒙 = (𝒙−𝟐) 𝟏 (𝒙+𝟏) 𝟑 En el caso que 𝒇 𝒙 = (𝒙−𝟐) 𝟐 (𝒙+𝟏) 𝟐 En el caso que 𝒇 𝒙 = (𝒙−𝟐) 𝟑 (𝒙+𝟏) 𝟏 Corte eje x, R𝐚í𝐜𝐞𝐬: 𝒇 𝒙 = 0 Corte eje x, R𝐚í𝐜𝐞𝐬: 𝒇 𝒙 = 0 Corte eje x, R𝐚í𝐜𝐞𝐬: 𝒇 𝒙 = 0 Corte eje x, R𝐚í𝐜𝐞𝐬: 𝒇 𝒙 = 0 𝒙 𝟏 =𝟐 multiplicidad impar 𝒙 𝟐 =−𝟏 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝒙 𝟏 =𝟐 multiplicidad impar 𝒙 𝟐 =−𝟏 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝒙 𝟏 =𝟐 multiplicidad impar 𝒙 𝟐 =−𝟏 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐚 𝐚𝐥 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐞𝐧 𝒇 𝟎 =−𝟖 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐚 𝐚𝐥 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐞𝐧 𝒇 𝟎 =−𝟐 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐧𝐚𝐝𝐚 𝐚𝐥 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐞𝐧 𝒇 𝟎 =𝟒 𝑺𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒇 𝑺𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒇 𝑺𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒇 atraviesa atraviesa atraviesa atraviesa revota revota

El cociente se obtiene aplicando la «Regla de Ruffini" Hallar raíces a un polinomio de grado mayor a 2 aplicando en forma combinada Teorema de Gauss y Formula resolvente La primera raíz se obtiene teniendo en cuenta el enunciado del Teorema sobre las raíces de Gauss ya que el polinomio tiene coeficientes enteros y el término independiente no es cero x= posoble raíz = 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒍 𝑻𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 }𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒍 Raíces de un polinomio son los x tales que 𝑓 𝑥 =0 En este caso 𝑥 3 −2 𝑥 2 −4𝑥+8 =0 Para que un producto sea 0 basta con que algún factor resulte 0 𝑥−2 . ( 𝑥 2 −4)=0 𝒙 𝒇 𝒙 =𝟎? 𝒙 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 1 𝑓 1 = 1 3 −2. 1 2 −4.1+8≠0 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑥−2=0 ó 𝑥 2 −4=0 −1 𝑓 −1 = −1 3 −2. −1 2 −4(−1)+8≠0 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑥=2 2 𝑥 2 =4 2 𝑓 2 = 2 3 −2. 2 2 −4.2+8=0 𝟐𝒆𝒔 𝒓𝒂í𝒛 𝑥=2 2 |x|= 4 𝑆𝑖 𝑥=2 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑥 −2 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 El cociente se obtiene aplicando la «Regla de Ruffini" 1 −2 −4 8 2 2 0 −8 1 0 −4 0 el Cociente 𝐶 𝑥 = 𝑥 2 −4 Ahora al polinomio lo podemos expresar como producto x=−2 −2 Factorear un polinomio de grado 3 𝑓 𝑥 =𝑎(𝑥− 𝑥 1 )(𝑥− 𝑥 2 )(𝑥− 𝑥 3 ) 𝑓 𝑥 =1(𝑥− )(𝑥− )(𝑥− ) 𝑓 𝑥 = (𝑥− 2 ) 2 (𝑥+2) Volver