PRO. ALDO G. ECUACIONES

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Si se combinan, números representados por símbolos, mediante una o más operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponenciación o extracción de raíces, entonces la expresión resultante se llama expresión algebraica.

CONCEPTOS OBSERVEMOS LA SIGUIENTE EXPRESIÓN ALGEBRAICA 5ax bx + 3 Posee, 3 términos, que se encuentran separados por operaciones de suma y resta. El 1 er término 5ax 3 tiene como factores 5, a, x, x 2,x 3, es decir todas las formas de expresar un producto entre sí para forma el término 5ax 3 Vemos también que el término 5ax 3 tiene el coeficiente 5a, y de éste el coeficiente numérico 5 Si a lo largo del análisis, a y b no cambian, se los denomina constantes

Monomio: son expresiones algebraicas que tienen exactamente un término Binomio: son expresiones algebraicas que tienen exactamente dos términos Trinomio: son expresiones algebraicas que tienen exactamente tres términos Multinomios : se denominan en general así a las expresiones algebraicas con más de un término

Polinomio: es la expresión algebraica con mas un termino pero de la forma: c n x n + c n-1 x n-1 + …..c 1 x + c 0 Es decir, debe ser ordenado con respecto a la variable en estudio, n debe ser un número entero no negativo y las constantes c n debe ser distinta de cero (c≠0).

Grado de un término: es la suma de los exponentes de las variables que hay en el término. Ejemplo: 3x 2 y 3 z es de grado 6 ( 2+3+1=6) Grado de un polinomio : es igual al grado de su término que tiene el mayor grado. Ejemplo: x 2 + 4x 3 + x es de grado 3 3y 2 + y 5 + y es de grado 5 4 es de grado 0

Polinomio completo : Se dice que un polinomio es completo cuando entre sus términos de mayor y menor grado existen todos los términos de grados intermedios, caso contrario se dice que es incompleto. x 2 + 4x 3 + x Ejemplo: x 2 + 4x 3 + x es un polinomio completo con respecto a “x” (recuerda que todo término elevado a cero es la unidad “x 0 = 1) x 2 y 3 + 4x 3 y 2 + x 4 y x 2 y 3 + 4x 3 y 2 + x 4 y 5 + 5y es un polinomio completo con respecto a “x” e incompleto con respecto a “y”

Polinomio Ordenado: Se dice que un polinomio es ordenado con respecto a una letra cuando los exponentes de dicha letra van aumentando o disminuyendo desde el primero hasta el último término x 3 + 4x 2 + x + 5 Ejemplo: x 3 + 4x 2 + x + 5 es un polinomio ordenado con respecto a “x” (recuerda que todo término elevado a cero es la unidad “x 0 = 1) x 3 + 4x 2 y+ x y x 3 + 4x 2 y+ x y 2 + 5y 3 es un polinomio ordenando con respecto a “x” y a “y”

ECUACIONES -CONCEPTOS Igualdad: es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor Ej. a=b+c; 4x 2 =4x + 15 Identidad: es una igualdad que se verifica o es verdadera para cualesquiera valores de las letras que intervienen en ella. Ej. (x-y) 2 =(x – y)(x + y) Ecuación: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas, llamadas incógnitas y que se verifica o es verdadera para determinados valores de dichas incógnitas.

ECUACIONES EQUIVALENTES Vimos que una ecuación esta formada por dos miembros separados por un signo igual. (x-y) 2 =(x – y)(x + y) La finalidad de una ecuación es demostrar que esa igualdad es verdad al sustituir los valores de las incógnitas. Observa la siguiente ecuación: a.X + 2 = 3, el único valor de x que satisface la ecuación es 1. b. 4 = 5 – x el único valor de x que satisface la ecuación es 1.

Observamos que en ambas ecuaciones el valor de X que satisfacen a la igualdad es 1. Cuando dos ecuaciones comparten la misma raíz (valor de la incógnita) se dicen que son equivalentes

ECUACIONES LINEALES Las ecuaciones lineales son llamadas también ECUACIONES DE PRIMER GRADO y presentan la forma: ax + b=0 Donde a y b son constante y a≠0 Para resolver una ecuación lineal se realizan operaciones sobre ella hasta obtener una ecuación equivalente cuyas soluciones sean obvias, lo que significa hallar una ecuación en la que la variable quede aislada en un lado de la ecuación.

TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS Despejar una incógnita significa dejar sola la incógnita en uno de los miembros de la ecuación, efectuando las operaciones adecuadas, para ello se utiliza la transposición de los términos atendiendo la operaciones relacionadas. SUMA RESTA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN POTENCIACIÓN RADICACIÓN

ECUACIONES ENTERAS CON UN INCÓGNITA Ejemplo 1: Resuelve la ecuación: 8x – 6 = 4x Se recomienda siempre agrupar todos los términos semejantes en un miembro a los términos independientes (sólo números) al otro, atendiendo los cambios de signos. 8x – 4x = Reducir términos semejantes: 4x = 4 3.La incógnita debe quedar SOLA, y el dos es un factor que esta multiplicando y pasará al otro miembro DIVIDIENDO: 4x = 4 X= 4/4…… x=1

ECUACIONES LITERALES Hasta aquí hemos aprendido como despejar la incógnita de una ecuación lineal en la que solo participan la incógnita misma y la parte numérica de la ecuación. Sin embargo, existen ecuaciones en las que no participan el término numérico y el valor de la incógnita queda determinada por letras o las constantes ya citadas:

Ejemplo 1: Resuelve ax –b = c 1.Como a, b y c son contanste se los puede considerar como un número, esto para poder dejar SOLA a la incognita y atender las transposicion de los miembros ax = c + b x= c + b a

Las ecuaciones literales son muy empleadas en el momento de relacionar dos variables una situación particular. Ej 1. Ej 1. La ecuación I = P. r.t es la fórmula para interés simple sobre un capital (P) dólares a una tasa de Interés anual( r) en un período de (t) años. Exprese el interés r en función de P, t e I. I = P. r.t I/P = r.t I/(P.t) = r Es decir, como P y t están multiplicando a r, pasan al otro miembro dividendo a I.

Ej 1. Ej 1. La ecuación S = P + P. r.t es la fórmula para el valor S de un inversión de un capital de P dólares a una tasa de Interés anual( r) en un período de (t) años. Resuelva para P. 1.Aquí tenemos que factorizar el 2° miembro P + P.r.t = P (1 + r.t) Factor común P 2. Como el factor (1 + r.t) esta multiplicando a P y a P lo queremos SOLO, el termino (1 + r.t) pasa al otro miembro dividendo a S S = P (1 + r.t)