1. DEMOSTRACIÓN DE PITÁGORAS (S. VI a.C.) Pitágoras había viajado a la antigua Babilonia  y a Egipto donde posiblemente conoció la propiedad que verifican los lados de un triángulo rectángulo. En una tablilla de arcilla procedente de Babilonia conocida por PLIMPTON 322 y fechada en el 1900 a.C. aparecen, colocadas en columnas, ternas de números que verifican el teorema de Pitágoras son las llamadas "TERNAS PITAGÓRICAS".

Un cuadrado de lado  b+c  se divide en dos cuadrados de lados b y c y en cuatro triángulos rectángulos de catetos b y c e hipotenusa a. Por tanto igualando las dos áreas obtenemos:

2. ROMPECABEZAS DE PERIGAL A partir de un triángulo rectángulo de catetos b y c e hipotenusa a, se hace una partición del cuadrado de lado b de la siguiente forma: por el centro del cuadrado se trazan dos segmentos, uno paralelo a la hipotenusa y el otro perpendicular a ella. Obteniéndose así cuatro piezas que junto al cuadrado de lado c  encajan perfectamente en el cuadrado de lado a.

3. DEMOSTRACIÓN DE BHÂSKARA (1114-1185) El matemático hindú Bhâskara reconstruyó la demostración del teorema de Pitágoras que aparece en un diagrama de la Aritmética Clásica China, en el que se representa la más antigua demostración del teorema, admirada por su elegancia. Bhâskara expuso esta demostración en su libro Vijaganita sin añadir más comentarios que el de “observe”. A partir de un triángulo rectángulo de catetos b y c e hipotenusa a se ha hecho una partición en cinco partes: cuatro de estas partes son triángulos rectángulos iguales al de partida y la otra es un cuadrado de lado (b-c).  

En el cuadrado superior tenemos: En la figura inferior tenemos: Por tanto igualando las dos expresiones se obtiene:

4. ROMPECABEZAS DE OZANAM Las cinco piezas que componen este rompecabezas se obtienen de cortar los dos cuadrados construidos sobre los catetos. Se colocan los cuadrados de lados b y c. Se consideran dos cuadrados equivalentes al de lado c situados inferiormente como muestra la figura anexa. Se trazan dos segmentos de medida a  y perpendiculares por P.

Estos segmentos al cortar a los lados de los cuadrados determinan las cinco piezas que encajan para formar el cuadrado construido sobre la hipotenusa.  

5. ROMPECABEZAS CON OCHO PIEZAS En cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos se traza una diagonal y por los otros dos vértices del cuadrado se trazan segmentos paralelos a la hipotenusa, determinándose así cuatro partes en cada uno de los cuadrados, que agrupadas convenientemente forman el cuadrado sobre la hipotenusa.