Longitud de una curva plana “CÁLCULO I” BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Longitud de una curva plana Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto. Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.T.S.I. Minas. Universidad Politécnica de Madrid --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Longitud de una curva Si n = 2  curva plana Si n = 3  curva alabeada --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Una curva se llama rectificable si su longitud es FINITA Distinguiremos entre: Curvas de clase C1  derivables en todo punto Curvas NO de clase C1  NO derivables en algún punto --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Para obtener la longitud de una curva C1 Se inscribe una línea poligonal cualquiera. La longitud de la curva es el límite al que tiende la longitud de la poligonal inscrita cuando las longitudes de todas sus cuerdas tienden a cero --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Se tomará la mayor de las poligonales inscritas, Si la curva no es C1, Se tomará la mayor de las poligonales inscritas, para asegurarnos que se abarque el bucle. En la práctica, se trabajará con unas ecuaciones paramétricas de la curva. --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Curva expresada en forma explícita B y = f(x) dx a b dl dy A Longitud de AB = --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Curva expresada en forma paramétrica B y = f(t) x = g(t) dx a b dl dy A Longitud de AB = --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Curva expresada en polares q1 A q2 B Longitud de AB = --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Calcular la longitud del arco de curva: Ejemplo Calcular la longitud del arco de curva: entre x = 0 , x = 2 Solución: Fórmula a emplear: Calculamos: --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Calcular la longitud de la astroide: Ejemplo Calcular la longitud de la astroide: Solución: Vamos a hacernos una idea de la forma de la curva: x = a , x = -a y = a , y = -a Puntos de corte con los ejes: --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Por ser simétrica resp. x e y: -a a Longitud astroide = 4. l Simetrías: Respecto eje x: Respecto eje y: a l Por ser simétrica resp. x e y: -a a Longitud astroide = 4. l -a --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Los límites de integración se colocan dejando la curva + a Los límites de integración se colocan dejando la curva a la izquierda al recorrerla. Pasamos a paramétricas: Nuevos límites de integración: --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M. Hervás, R. Rodríguez, F --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

--Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M. Hervás, R. Rodríguez, F --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Calcular la longitud de la cardioide: r = 2.a.(1+cos(q)) Ejemplo Calcular la longitud de la cardioide: r = 2.a.(1+cos(q)) Solución: La curva viene dada por su expresión en polares. La representación gráfica de dicha curva es: q1 r A B q2 --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Dado que la curva es simétrica respecto al eje polar podemos calcular la longitud entre q1=0 y q2=p. --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Empleamos ahora las relaciones trigonométricas: Por lo tanto, se tendrá: de donde, operando: Empleamos ahora las relaciones trigonométricas: --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

Podemos entrar ya en la integral que calcula la longitud de la curva: Operando y reordenando: --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Calcular la longitud de una circunferencia de radio R Solución: 2.p.R 2. Calcular la longitud del arco de cicloide: Solución: 8.a --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

3. Calcular la longitud de la curva: (*) 3. Calcular la longitud de la curva: Entre t=0 y t=4 Solución: (*) 4. Calcular la longitud de la curva: Con  [0, 3] Solución: (*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas” Ed. Tébar Flores. --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

5. A) Calcula la longitud de la curva: (*) 5. A) Calcula la longitud de la curva: y Entre: Solución: B) Comprueba que la expresión anterior se puede escribir: Pista: Haz el cambio y=argcsch(x)  x=csch(y) (*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas” Ed. Tébar Flores. --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez

6. A) Calcula la longitud de la curva: (*) 6. A) Calcula la longitud de la curva: entre: y Solución: B) Comprueba que la expresión anterior se puede escribir: Pista: Haz el cambio y=argSh(x)  x=Sh(y) (*) F. Coquillat: “Cálculo Integral. Metodología y Problemas” Ed. Tébar Flores. --Longitud curvas planas-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez