Geoestadística Aplicada Instituto Agrimensura 2019 Dra. María Noel Morales Boezio

Estructura de la presentación  Interpolación – elementos  Métodos de interpolación no Geoestadísticos Vecino más próximo, Vecino natural, Triangulación, Medias locales, Inverso de la distancia, Funciones de base radial, Mínima curvatura (splines),

Cuál es el problema a resolver?  Determinar valores de un atributo en ubicaciones que no fueron muestreadas a partir de valores muestreados en otras ubicaciones.  La determinación puede realizarse en ubicaciones aisladas, o en mallas regulares.  Si la determinación se realiza en mallas regulares, es más sencillo representar los valores determinados en mapas (de bloques 2D, 3D, de contornos, de relieve, etc. ) Los valores desconocidos se determinan por interpolación.

Qué muestras contribuyen para determinar el valor del bloque gris?  Cada una de las muestras dentro del círculo recibirá un peso y contribuye a determinar el valor del bloque gris.

Interpolación  Los valores desconocidos son generalmente determinados utilizando una combinación lineal ponderada.  Cada bloque se estima utilizando la información circundante en una combinación lineal.  Área de búsqueda o vecindad (círculo de radio R).  , , ,… son los pesos que se asignan a cada muestra para determiner el valor desconocido.

Elementos  Malla Debe cubrir el área de interés. Regla común es no discretizar más que en ¼ del espaciamiento medio entre muestras, para cada dirección.  Vecindad y estrategias de búsqueda Vecindad: tamaño, hasta dónde buscar muestras Estrategias: cuántas muestras, octantes, etc.

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Métodos de interpolación: Vecino más próximo Vecino natural Triangulación Medias locales Inverso de la distancia Funciones de base radial Mínima curvatura (splines) Generalmente son llamados métodos NO Geoestadísticos. 7

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Vecino más próximo (Nearest Neighbor) El nodo (o bloque) toma el valor de la muestra experimental más cercana. 8

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Vecino Natural (Natural Neighbor) Interpolación de Sibson o de Robo de área Método poligonal Se realizan los polígonos de Thiessen (polígonos de Voronoi) Los valores experimentales se ponderan por la proporción 9

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Triangulación TIN – Triangular Irregular Network Basado en la generación previa de triángulos cuyos vértices coinciden con los lugares donde se tomaron muestras. Triangulación de Delaunay. A cada triángulo se le asigna el valor promedio de los valores en los vértices que lo componen. 10

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Cuál triangulación es la correcta? 11

Maximización del ángulo mínimo 12 El menor ángulo de una configuración debe ser lo mayor posible.

Circunferencias que pasen por 3 puntos Una circunferencia que pase por 3 puntos debe contener a un único triángulo.

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Triangulación de Delaunay a partir de polígonos de Voronoi 14

Métodos de interpolación no geoestadísticos  TIN – Triangular irregular network MDT Triángulos con pendiente en el espacio. Superpuesto a una malla de interpolación se puede generar un modelo de puntos o bloques.

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Medias locales (Moving media) Mayor información circundante Todas las muestras en la vecindad reciben el mismo peso. El valor estimado en el punto rojo es el promedio de las muestras en el interior de la vecindad. Valor estimado =238

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Inverso de la distancia (IDW) Muestras más próximas reciben mayor peso. 17 Muestra distanci a1/dM*1/d 5080,422,401219,20 100,901,1111, ,0812,006396,00 60,333,0018,00 130,751,3317,33 10,731, ,781,28314, ,901,11562, ,781,28403,40 24,878942, /x

Métodos de interpolación no geoestadísticos Muestra distanci a1/d 2 M*1/d ,425,762926,08 100,901,2312, ,08144, ,00 60,339,0054,00 130,751,7823,11 10,731, ,781,63400, ,901,23624, ,781,63514,98 168, , Inverso de la distancia al cuadrado (IDW) Al elevar a la potencia se le otorga mayor peso a las muestras más próximas 1/x 2

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Funciones de base radial Resultados más suavizados. Fenómenos continuos. Extrapolación fuera del rango de datos original. Elección arbitraria de las funciones de base radial.  El peso es dado por medio de funciones que tienden a cero con el aumento de la distancia. Transiciones menos abruptas que en el caso de IDW 19

20 Funciones Inversas Cuadráticas (IQ)

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Mínima curvatura (splines) Resultados más suavizados. Fenómenos continuos. Extrapolación fuera del rango de datos original.  A diferencia de las funciones de base radial, en este algoritmo, dados dos puntos, busca la función que provea la mínima curvatura.

22 Funciones de base radial Mínima curvatura Semejanza en interpolación Diferencia en extrapolación Función cúbica

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Interpolación bilineal Muestras en mallas regulares. Se utilizan las 4 muestras más próximas Fenómenos continuos. Se pondera cada muestra por la proporción de distancia. 23

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Se pondera por el área de influencia de la muestra opuesta.  La interpolación bilineal no es lineal sino cuadrática. 24

Métodos de interpolación no geoestadísticos  Convolución cúbica Similar a bilineal Muestras en mallas regulares Se utilizan las 16 muestras más próximas Fenómenos continuos Se pondera cada muestra de acuerdo a la distancia, pero no de forma lineal como en el caso anterior. 25

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Cuantificación  Cuánto hay en total?  Cuál es la concentración o el valor promedio? Combinación lineal ponderada 27 Método poligonal

Cuantificación 28 Triangulación

Implementación computacional  Surfer IDW, Media local, Vecino más próximo, Vecino natural, Mínima curvatura, Funciones de base radial, Triangulación Puntos  ArcGis IDW, Vecino más próximo, Vecino Natural, Spline, Triangulación, Bilineal, Convolución cúbica. Puntos y bloques (raster)  Qgis IDW, Triangulación Bloques (raster)  Isatis IDW, Media local, Mediana local, Vecino más próximo Puntos y bloques  etc. 29

Puntos a mapa de contorno  A partir de una malla de puntos estimados se pueden construir mapas de isovalores (mapas de contorno). 30 Interpolación lineal simple

Consideraciones finales acerca de los métodos no geoestadísticos  Pueden utilizarse cuando las variables no son regionalizadas.  Modelo de autocorrelación implicito  No todos son interpoladores exactos  Métodos determinísticos (no permiten medir el error)  Los métodos geoestadísticos proveen interpoladores BLUE (best linear unbiased estimator), en los cuales la media del error es nulo y la varianza del error es mínima. 31