Aldagai-erreal bakardun funtzio errealen zeroen kalkulua: Ebatzi nahi dugun problema zera da: kalkulatu nahi dugu aldagaiaren zein baliorako (edo zeintzu balioetarako) funtzio jarraiaren balioa zero den: Soluzio analitikoa ez da beti egongo, eta, soluzio numerikoekin saiatu beharko dugu. Soluzioa dagoen ala ez, tarte konkretu batean, Bolzano-ren teoremak azaltzen digu. Teorema honen arabera, funtzio jarraia batek [a, b] tartean gutxienez soluzio bat (zero bat) edukiko du, baldin eta funtzioaren balioen zeinuak elkarren desberdinak badira muturretan:

Bolzano-ren teorema honetan oinarrituta, hurrengo erara ekin genezake funtzioen zeroak bilatzeko: Behin aurkitu dugun tarte bat non, muturretan, funtzioa zeinuaz aldatzen den, orduan, badakigu tarte horren barnean badagoela, gutxienez, zero bat. Aurkitutako tarte hori erdibituko dugu eta, erdiko puntuan, funtzioaren balioa kalkulatuko dugu; zero balitz gure helburua lortu izan genukeen . Liteekena da hori ez gertatzea. Hortaz, erdiko puntu hori hartuko dugu hurrengo tarte txikiago baten muturtzat. Tarte txikiago berri horren beste muturra izango da, hasierako muturretako, mutur berriarekiko zeinu desberdina daukana. Beraz, tarte txikiago (hasierakoaren erdia) bat dugu oraingoan, eta tarte berri honetan, oraindik ere, betetzen dira Bolzano-ren teoremaren baldintzak. Ondorioz, goian bezala, berriro ekin genezake; hau da, tartea erdibitu eta funtzioa kalkulatu erdiko puntuan. Prozedura honi jarraituz, gero eta tarte txikiagoak lortuko genituzke eta, ondorioz, zerotik gero eta gertuago geundeke. Prozedura iteratibo honi “bilaketa dikotomikoa”, deitzen diote eta metodo honen konbergentzia motela da.

Ebakitzailearen (sekantearen) metodoa (Regula Falsi): Bolzano-ren teoremaren baldintzetan, metodo hau oinarritzen da funtzioari interpolazio lineal batez (zuzen batez) hurbiltzean. Hori egin eta gero, kalkulatzen da zuzenaren zeroa eta, puntu hori da abiapuntua hurrengo tarte txikiagoa mugatzeko:

Kalkulatu hurrengo funtzioaren zeroa x = 0.95 puntuaren ingurukoa:

Newton-en metodoa: Metodo lokal eta iteratibo honetan funtzioari bere lehen deribatuaz hurbiltzen zaio:

Newton-en metodoa: Metodo lokal eta iteratibo honetan funtzioari bere lehen deribatuaz hurbiltzen zaio: x0

Newton-en metodoa: Metodo lokal eta iteratibo honetan funtzioari bere lehen deribatuaz hurbiltzen zaio: x1 x1 x0

Newton-en metodoa: Metodo lokal eta iteratibo honetan funtzioari bere lehen deribatuaz hurbiltzen zaio: x1 x1 x0

Newton-en metodoa: Metodo lokal eta iteratibo honetan funtzioari bere lehen deribatuaz hurbiltzen zaio: x1 x1 x0 x2

Newton-en metodoa: Abiapuntu bakar batetik hasten da. Baina kontuz ibili behar dugu abiapuntu hori aukeratzerakoan. Argi ibili behar da mutur erlatiboen inguruetan alegia. Lehen, abiapuntutzat irudiko beste x0 aukeratu izan bagenu, ez genukeen zeroa aurkituko : x0

x0 x1

Malda handiko zero baten inguruetan ere problemak sor daitezke: x1 x2 x0

Deribatua numerikoki kalkulatu behar ba dugu: (Regula Falsi)

Kalkulatu f(x) = tg(x)-x funtzioari dagokion zeroa n = 1 denean, funtzio hauen zeroak xn = (n+1/2)p puntuen inguruetan daudela jakinda. x0 = 4.7 hartzen baldin badugu: ERRADIANETAN!!!

Kalkulatu hurrengo funtzioaren zeroa x = 0.95 puntuaren inguruan: Kalkulatu (2,1) puntutik gertuen dagoen y = 1/x kurbako puntua.

Kalkulatu hurrengo funtzioaren zeroa x = 0.95 puntuaren inguruan: ERRADIANETAN!!!

Kalkulatu hurrengo funtzioaren zeroa x = 3 puntuaren inguruan: ERRADIANETAN!!!

Kalkulatu (2,1) puntutik gertuen dagoen y = 1/x kurbako puntua.

Planoko (x1,y1) eta (x2,y2) bi puntuen arteko distantzia hauxe da: hortaz y = 1/x kurbako puntu baten eta (2,1) puntuaren arteko distantzia: Aurreko d(x) funtzioaren minimoa bilatzen ari gara; baina, horren baliokidea da funtzio horren karratuaren, g(x)-en, minimoa bilatzea: Funtzio honen minimoa kalkulatzeko, bilatu beharko dugu bere lehen deribatuaren zeroa:

Baina: Ondorioz hurrengo funtzio honen zeroa kalkulatu behar dugu: Demagun x0 = 1 puntutik abiatzen garela:

Hurrengo funtzioaren zero bilatu beharrean: beste funtzio honen, F(x)-en, zeroa bilatu izan bagenu:

eta lehengo abiapuntu berbera hartu izan bagenu, x0 = 1:

Whittaker-en metodoa: Newton-en metodoan oinarritzen da. Desberdintasuna zera da: lehen deribatua behin bakarrean kalkulatzen da eta gero konstantetzat hartzen da, bere balioa txikia delakoan funtzioaren balioarekiko. Aurrerago ikusiko dugun bezala, metodo hau erabiltzen da, batik bat, aldagai-anitzeko funtzioekin, zeintzuekin deribatua kalkulatzea matrize baten matrize inbertsoa kalkulatzea baita. Müller-en metodoa: Newton-en metodoan bezala, metodo lokal eta iteratibo honetan abiapuntu bakar batetik hasten gara, baina funtzioari hurbiltzeko batugai gehigarri bat hartzen dugu funtzioaren garapenenan:

Orain y = 0, eginez bi soluzio desberdin dauzkagu x1-erako:

Erabili bai Newton-en, bai Müller-en metodoak kalkulatzeko x = 0.1 puntuaren inguruan dagoen zeroa : Newton: Demagun x0 = 0.1 puntutik abiatzen garela: ERRADIANETAN!!!

Egiaztatzen den bezala konbergentzia motela da oso, Newton-en metodo honetaz. Ikus dezagun hurrengoan zer gertatzen den Müller-en metodoaz:

Müller: Abiapuntu berbera hartuta: x0 = 0.1:

Kalkulatu p zenbakia 5 zifra esangarriekin, y = cos x funtzioa , erabiliz eta x = 3 puntutik abiatuz. Kalkulatu hurrengo funtzioaren zeroa x = 0.8 puntuaren inguruan: Kalkulatu zeintzu dira heuren arteko batuketa 20 duten bi zenbakiak, non zenbaki horiei beraien erro karratuak batzen diegunean eta elkarri biderkatzen diogunean, biderkadura hori 155.55 baita. Kalkulatu hurrengo funtzioaren mutur bat x = 3.1 puntuaren inguruan:

Kalkulatu p zenbakia 5 zifra esangarriekin, y = cos x funtzioa , erabiliz eta x = 3 puntutik abiatuz. p zenbakiaren balioa kalkulatzeko hurrengo funtzioaren zeroa kalkula dezakegu f(x) = cos(x) + 1: Newton: ERRADIANETAN!!! Demagun abiatzen garela x0 = 3 puntutik:

Egiaztatzen den bezala konbergentzia motela da oso, Newton-en metodo honetaz. Ikus dezagun hurrengoan zer gertatzen den Müller-en metodoaz:

Müller: Abiapuntu berbera hartuz: x0 = 3:

Formulan zeinu negatiboa ere aukeratu izan bagenu, emaitza lortuko genukeen:

Kalkulatu hurrengo funtzioaren zeroa x = 0.8 puntuaren inguruan: Newton: ERRADIANETAN!!! Demagun abiatzen garela x0 = 0.8 puntutik:

Egiaztatzen den bezala konbergentzia motela da oso, Newton-en metodoaren bidez. Hortaz, Müller-en metodoaz saiatu beharko genuke.

Kalkulatu zeintzu dira heuren arteko batuketa 20 duten bi zenbakiak, non zenbaki horiei beraien erro karratuak batzen diegunean eta elkarri biderkatzen diogunean, biderkadura hori 155.55 baita. Problema hau hurrengo funtzioaren zeroa aurkitzean datza: Newton: x0 = 11 puntutik abiatzen ba gara:

Kalkulatu hurrengo funtzioaren mutur bat x = 3.1 puntuaren inguruan: Problema ebazteko bilatuko dugu hurrengo funtzioaren zeroa: f(x)-ren deribatua zehazki, hau da, analitikoki kalkulatzea korapilatsua izango litzateke. Hori sahiesteko hurbilketa numerikoa erabil genezake:

h = 10-4 hartzen baldin badugu:

f(x) funtzioa honela aukeratuz beharrean: beste era honetara aukeratu izan genezakeen: Newton: Abiapuntutzat x0 = 3.1 hartuta:

Funtzio inbertsoak kalkulatzeko aplikazioa: Demagun y = f(x) funtzioa dugula, eta kalkulatu nahi dugula y aldagaiaren emandako balio baterako zein den balio horri egokitzen zaion x aldagaiaren balioa. Hau da, demagun funtzio inbertsoa, x = f -1(y), kalkulatu nahi dugula: Problema hau planteatu daiteke beste funtzio baten, g(x) = f(x)-y; zeroaren kalkulua bezala, non y ,guk kalkulatu nahi dugun funtzio inbertsoaren balioa baita: Adibidea: x = arcos y funtzioaren kalkulua Beraz, guk kalkulatu nahi dugu hurrengo funtzioaren zeroa: eta Newton-en metodoa erabiltzen badugu:

Abiapuntu, x0, egokia aukeratzeko hurrengo hau egin genezake: Horrela, adibidez x = arcos(0.25) kalkulatu nahi bagenu:

Kalkulatu %1 errorea baino gutxiagoarekin x aldagaiaren zer baliorako izango duten balio bera hurrengo funtzioak eta integralak : Kalkula dezagun integrala Gauss-Legendre-ren koadraturaren bidez: n=2 hartuta (3 puntu):

n=3 hartuta (4 puntu):

Hortaz, kalkulatu nahi dugu x aldagaiaren zer baliorako f(x), funtzioaren balioa 4.85 den: Horren baliokidea da hurrengo funtzioaren, g(x)-en, zeroa bilatzea: Abiapuntutzat x0 = 1 hartuz: