Tema 8 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT LÍMITES INFINITOS Tema 8.6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT LIMITES INFINITOS LIMITES INFINITOS Si a es un número real, lím f(x) = +oo significa que cuando x tome valores xa muy próximos a a, a ambos lados, los correspondientes valores de f se harán arbitrariamente grandes. De forma análoga se define lím f(x) = –oo. xa+ muy próximos a a, pero mayores que a, los correspondientes valores de f se harán arbitrariamente grandes. Y también lím f(x) = +oo o lím f(x) = –oo. xa- xa- @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO Y 1 Ejemplo 1 Si representamos la función: x 3 f(x)= ------ = 1 + ------- x – 3 x – 3 Hipérbola de centro (3, 1) Vemos que en x=3 la función no existe. Sin embargo existe en las proximidades de x=3, donde la gráfica tiende a juntarse con una recta vertical. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo=3. Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo=3 0 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Para ver cómo se comporta la función en las proximidades de x=3 habrá que calcular sus límites laterales: Límite por la derecha: x 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x3+ x - 3 +0 pues x vale algo más de 3. Límite por la izquierda: x 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x3- x - 3 - 0 pues x vale algo menos de 3. Los límites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una función en determinados puntos críticos. Y 1 0 3 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 Si representamos la función: – 2.x 6 f(x)= -------- = – 2 + ------------ x + 3 x – (– 3) Hipérbola de centro ( – 3 , – 2) Vemos que en x= - 3 la función no existe. Sin embargo existe en las proximidades de x=3, donde la gráfica tiende a juntarse con una recta vertical. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo= - 3. Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo= - 3 Y -2 - 3 0 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Para ver cómo se comporta la función en las proximidades de x=3 habrá que calcular sus límites laterales: Límite por la derecha: -2.x 6 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x-3+ x + 3 +0 pues x vale algo más de - 3. Límite por la izquierda: -2.x 6 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x-3- x + 3 - 0 pues x vale algo menos de - 3. Los límites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una función en determinados puntos críticos. Y -2 - 3 0 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 3 Queremos representar la función: f(x) = x / ( x2 - 4) Vemos que cuando x vale 2 ó -2 , el valor de y es +/- 2 / 0 La función no existe en x=2 ni en x=-2 Sin embargo sí existe en las proximidades de dichos valores de x. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x1= 2 y otra en x2= - 2. Veamos su comportamiento en x = 2 x 2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x2+ x2 - 4 +0 pues x vale algo más de 2 y x2 > 4 x 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ------ = - oo x2- x2 - 4 - 0 pues x vale algo menos de 2 y x2 < 4 Y -2 0 2 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Teníamos f(x) = x / ( x2 - 4) Veamos ahora su comportamiento en x = - 2 x - 2 lím ‑--‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = + oo x- 2+ x2 - 4 - 0 pues x vale algo más de – 2 y por tanto x2 < 4 x - 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = ----- = - oo x- 2- x2 - 4 + 0 pues x vale algo menos de – 2 y por tanto x2 > 4 Y -2 0 2 x Los límites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una función en determinados puntos críticos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT