Apuntes 1º Bachillerato CT DERIVADAS Tema 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT DERIVADA EN UN PUNTO Tema 10.2 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADA EN UN PUNTO DE UNA FUNCIÓN Sea la función y = f(x) que se muestra en el gráfico mediante una curva. Si tomamos los puntos Po y P1 y los unimos mediante una recta, dicha recta será secante a la función que representa la curva trazada. La pendiente m de dicha recta será: Δ y y1 - yo m1 = ------ = ------------ , Δ x x1 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa Imaginemos que el punto P1 se traslada hasta el punto P2. P1 y1 P2 Po yo xo x1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Tanto la abscisa como la ordenada han cambiado, han disminuido de valor, y la recta secante también ha variado de posición. La pendiente m de la nueva secante será: Δ y y2 - yo m2 = ------ = ------------- , Δ x x2 - xo es decir el incremento de la ordenada entre el incremento de la abscisa. Observar que si el nuevo punto Pn tomado se va acercando más y más al punto Po, tanto el incremente de la ordenada como el de la abscisa tiende a cero. P1 P2 y2 Po yo xo x2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT La recta secante terminará convertida en una RECTA TANGENTE, pues será tangente a la función en el punto estudiado Po = (xo, yo) La pendiente de esa recta tangente será: yn - yo 0 m = lím ------------- = [----] xxo xn - xo 0 f(xo+h) – f(xo) 0 m = lím ------------------- = ---- h0 h 0 A ese límite concreto, si existe, es lo que llamamos DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( en Po ) Se denota así: f ’(xo) y1 y2 Po yo xo x2 x1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplos EJEMPLO 1 Sea la función y = 3 x + 4 Hallar f ´(1) f(1+h) – f(1) 3(1+h) + 4 – ( 3.1+ 4) f ’(1) = lím ----------------- = lím ------------------------------ = h0 h h0 h 3 + 3.h + 4 – 3 – 4 3,h = lím ----------------------------- = lim ------- = 3 h0 h h0 h f ’(1) = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplos EJEMPLO 2 Sea la función y = – 2.x + 3 Hallar f ´(3) f(3+h) – f(3) – 2 (3+h) + 3 – ( – 2.3+ 3) f ’(3) = lím ----------------- = lím ------------------------------------- = h0 h h0 h – 6 – 2h + 3 + 6 – 3 – 2.h = lím --------------------------- = lim --------- = – 2 h0 h h0 h f ’(3) = – 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplos EJEMPLO 3 Sea la función y = - x2 + 4x Hallar f ’(1) f(1+h) – f(1) – (1+h)2 + 4.(1+h) – (– 1+ 4) f ’(1) = lím ----------------- = lím ---------------------------------------- = h0 h h0 h – 1– 2.h – h2 + 4 + 4h + 1 – 4 = lím ----------------------------------------- = h0 h 2h - h2 = lím ---------- = 2 – h = 2 – 0 = 2  f ’(1) = 2 h0 h @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplos EJEMPLO 4 Sea la función y = 3.x2 – 4 Hallar f ’(2) f(2+h) – f(2) 3(2+h)2 – 4 – (3.22 – 4) f ’(2) = lím ----------------- = lím --------------------------------- = h0 h h0 h 3.(4 + 4h + h2) – 4 – 12 + 4 = lím -------------------------------------- = h0 h 12h + 3h2 = lím ------------- = 12 + 3h = 12 + 3.0 = 12  f ’(2) = 12 h0 h @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT