Tema 8 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Tema 8.4 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LIMITE de una función f en un punto x = a , cuando x tiende a a es el valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor a, tanto por su derecha como por su izquierda. lím f(x) = b x a Nota: Aunque pueden coincidir, en general los números lim f(x) y f(a) no están relacionados entre sí. xa EJEMPLO: lím x2 = 22 = 4 x2 Sucesión de x : 1’9, 1’99, 1’999, … Sucesión de las correspondientes imágenes: 3’96, 3’98, 3’99, … @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

LÍMITES LATERALES EN UN PUNTO En un límite vemos que x puede tender al valor de “a” tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números: 2’1, 2’01, 2’001,2’0001, 2’00001, … 1’9, 1’99, 1’999, 1’9999, 1’99999, … Se hace preciso distinguir ambos límites. LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = L1 xa+ LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = L2 xa -- Una función f tiene límite en un punto a si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden. Entonces L1 = L2 = b @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo_1 En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 7 x 2+ LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 5 x 2- Ejemplo_2 En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 1 x 0+ LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 0 x 0- y 1 7 5 0 1 2 3 x 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo_3 Según la gráfica vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 1 x 1+ LIMITE POR LA IZQUIERDA x 1- En este caso: x 1 Ejemplo_4 Según la gráfica vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 3 x 5+ LIMITE POR LA IZQUIERDA x 5- En este caso: x 5 y 1 y 3 0 1 2 3 x 0 5 10 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo_5 x – 4 Lím ------------ x 1 x – 2 x y ------------------------ 0,99 2,9802 0,999 2,9980 1 ? 1,001 3,0020 1,01 3,0202 1,1 3,2020 Como se puede intuir, el límite de la función cuando x1 es 3 Ejemplo_6 x – 3 Lím ---------- x 3 x2 – 9 x y ------------------------ 2,99 0,1669 2,999 0,1667 2,9999 0,1666 3 ? 3,0001 0,1666 3,001 0,1667 Como se puede intuir, el límite de la función cuando x3 es 1/6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT LÍMITES EN EL INFINITO Tema 8.5 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT LIMITES EN EL INFINITO El límite de una función f, cuando x tiende a ± oo, es L si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a oo, el límite de la sucesión de las correspondientes imágenes es L. lím f(x) = L1 lím f(x) = L2 x +oo x –oo En caso de existir límite en el infinito decimos que f presenta una asíntota horizontal. (O dos, si L1 es distinto de L2 ) Ejemplo f(x) = x / (x – 3) Para x = 1000  y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000  y = 10000/9997 = 1,0003 Para x = 100000  y = 1,00003 Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Otro ejemplo y = x / (x2 – 4) Para x = 1000  y = 1000/999996 = 0,001 Para x=10000  y = 10000/9999996 = 0,0001 Para x = 100000  y = 0,00001 Para x = 1000000  y = 0,000001 Está ya claro que: Lím f(x) = 0 x+oo Si x toma valores negativos muy grandes, el valor de f(x) seguirá una sucesión de valores idéntica, aunque ahora negativos. x – oo La función presenta una recta asíntota horizontal que es y = 0. Si los dos límites hallados fueran de distinto valor, la función tendría dos asíntotas horizontales: y = L1 e y = L2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo gráfico Y L2 Lim f(x) = L2 x-oo Lim f(x) = L1 x+oo L1 X @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT