Olimpiada Matemática SAEM Thales Fase Provincial 09 de Marzo de 2019 Fase Regional 09 al 12 de Mayo de 2019

Problema nº 6 : La batalla final (PROBLEMA CASIO) La grabación de la batalla final de la serie de éxito Juego de Mates va a ser grabada en Ciudad Épsilon, en Matelandia. Dicha batalla, que enfrentará a los habitantes de Geometralia y Derivando del Rey, trascurrirá en un coso como el que muestra la figura, formada por dos círculos superpuestos de radio 136,64 metros. ¿Cuál es el perímetro del recinto de la batalla final? ¿Qué porcentaje del área del círculo de la izquierda es solapada por el círculo de la derecha? Razona las respuestas. Solución

SOLUCIÓN del Problema 6 Enunciado Apartado A: Realicemos, en primer lugar, la siguiente construcción que nos ayudará a hallar el perímetro de nuestra figura: Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 6 Enunciado Como podemos apreciar, el perímetro de la figura está formado por ocho arcos de circunferencia cuyo ángulo central mide 60°. Por lo tanto, la longitud de la curva es la misma que los ocho sextos de una de las circunferencias que lo forman, ya que 360° : 60° = 6. Así: 𝑃= 8 6 𝐿= 8 6 ·2𝜋𝑟= 8 6 ·2·3,14·136,64=1144,71 𝑚 Enunciado

2 4 SOLUCIÓN del Problema 6 Apartado B: Para hallar el porcentaje del área del círculo de la izquierda es solapada por el círculo de la derecha, deberemos hallar cuánto mide la superficie de la zona solapada. Descompongamos la figura y hallemos la superficie de cada parte: 2 4 Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 6 Enunciado Área del triángulo: Utilicemos el Teorema de Pitágoras para hallar la altura del triángulo, para posteriormente calcular su área. 136,64 h 68,32 ℎ= 136,64 2 − 68,32 2 =118,334 𝐴 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝐵·ℎ 2 = 136,64·118,334 2 =8084,56 𝑚 2 Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 6 Enunciado Área del segmento circular: Se tiene que: 60 ° 𝐴 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝜋 𝑟 2 6 − 𝐴 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 3,14· 136,64 2 6 −8084,56= =1691,29 𝑚 2 Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 6 Enunciado Por lo tanto: 𝐴 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑝𝑎𝑑𝑎 =2· 𝐴 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 +4· 𝐴 𝑠𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 =22934,3 𝑚 2 Y el porcentaje del círculo que es solapado es: 𝐴 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑝𝑎𝑑𝑎 𝐴 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 22934,3 3,14· 136,64 2 =0,3910=39,10% Enunciado

Por lo tanto, tenemos que: SOLUCIÓN del Problema 6 Por lo tanto, tenemos que: El perímetro del campo de batalla es de 1144,71 metros. El círculo de la izquierda tapa el 39,10 % del círculo de la derecha. Hemos encontrado las soluciones, pero ¿habrá más formas de conseguirlas? Enunciado

Olimpiada Matemática SAEM Thales GRACIAS por vuestra atención