Apuntes 2º Bachillerato C.T. MATEMÁTICAS II Tema IV Determinantes @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. 4. DETERMINANTES Determinantes. Determinantes de orden dos y de orden tres. Propiedades de los determinantes. Cálculo del valor de un determinante de cualquier orden por el desarrollo de los elementos de una línea, por el método de Gauss y por el método pivotal. Cálculo de la matriz inversa. Rango de una matriz. EJERCICIOS DEL LIBRO PROBLEMAS DEL LIBRO @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. DETERMINANTES TEMA 4.1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

DETERMINANTE Determinante de una matriz cuadrada de orden n es el conjunto de nxn números ordenados de igual manera que en la matriz. En cuanto a su notación, sirve cambiar los paréntesis de la matriz por dos rayas verticales que comprendan dicho conjunto de números, ordenados en n filas y en n columnas. Ejemplo: |A| = Un determinante de orden 4 (4x4) será |A| = [Cuatro filas x cuatro columnas] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. REGLA DE SARRUS REGLA DE SARRUS El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal principal (de izquierda a derecha), menos la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal secundaria (de derecha a izquierda). Cada elemento aij del determinante formará parte de un producto positivo y de un producto negativo. Para determinantes [2x2]: |A| = a11.a22 - a12.a21 Para determinantes [3x3]: |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 Para determinantes [nxn] en general: Se procede a desarrollar, como veremos más adelante, el determinante dado en función de una sola fila o columna, resultando al final del proceso determinantes 2x2 o/y 3x3 únicamente. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. MENOR NO NULO MENOR DE UN DETERMINANTE Se llama menor de un determinante nxn (n filas y n columnas) a cualquier otro determinante (n – k)x(n – k) que se pueda formar con parte de los elementos del primero, de forma que coincidan el índice i (de las filas) o el índice j (de las columnas). Ejemplo Sea el determinante 3x3: a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Menores de dicho determinante serán, entre otros: a11 a12 a11 a13 a22 a23 a21 a22 , a31 a33 , a32 a33 , a21 , a23 , etc. Se llamará MENOR NO NULO si su valor es distinto de cero. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Determinante de orden 2 Sea el determinante de orden 2 Habrá únicamente 2 productos posibles: a11.a22 y a12.a21 El primer producto es positivo y el segundo negativo. El valor del determinante será: |A| = a11.a22 - a12.a21 Ejemplo 2 - 4 |A| = 3 5 |A| = 2.5 – (- 4).3 = 10 – (- 12) = 10+12 = 22 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Determinante de orden 3 Sea el determinante de orden 3 1 2 3 |A| 4 5 6 7 8 9 Por la Regla de Sarrus |A| = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a11.a23.a32 |A| = 1.5.9 + 2.6.7 + 4.8.3 – 3.5.7 – 2.4.9 – 1.6.8 = = 45 + 84 + 96 – 105 – 72 – 48 = 225 – 225 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor menor no nulo de dicha matriz. El mayor determinante que podemos formar en de orden 3 (3x3). Como mucho su Rango vale 3 ; Rang (A) = 3 Ya vimos que |A| = 0, por lo que su rango no puede ser 3. Tomamos un determinante cualquiera de orden 2 1 2 |A| =  |A|= 5 – 8 = – 3 <> 0 , luego Rang A = 2 4 5 Sea la matriz 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.