Tema 8 FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT SUCESIONES Tema 8.10 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Límite de una sucesión Una sucesión es una función real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales N. Una sucesión de números reales tiene por límite el número real a cuando, dado un número real r positivo, por pequeño que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes a él verifican: |an – a| < r El límite se representa por la notación. Lím an = a noo Si una sucesión tiene por límite un número real se llama convergente. En caso contrario se llama divergente. Aparece el +oo o el - oo @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 2n - 1 Sea la sucesión an = -------- n Hallar su límite. Calcular la distancia entre el término a10 y el límite. Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una milésima. Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 1, a10 = 1’9, a100 = 1’99 Lím an = 2 noo Hallamos la distancia de a10 al límite | a10 - a | = |1,9 – 2| = |-0’1| = 0’1 Hallamos el término pedido: | an - a | < r  | an - 2 | < 0,001 2n – 1 2n – 1 – 2n | -------- - 2 | < 0,001  | ----------------- | < 0,001 n n 1/n < 0,001  1 < 0,001.n  1/0,001 < n  n > 1000  n=1001 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 2 – 3n Sea la sucesión bn = --------- n + 1 Hallar su límite. Calcular la distancia entre el término b20 y el límite. Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una diezmilésima. Hallamos el valor de algunos términos: b1 = -0’5, b20 = -2’7619, b2000 = -2’9975 Lím bn = - 3 noo Hallamos la distancia de a20 al límite | b20 - b | = |- 2’7619 – (-3)| = |3 – 2’7619 | = 0’2381 Hallamos el término pedido: | bn - b | < r  | bn – (-3) | < 0,0001 2 – 3n 2 – 3n + 3n + 3 | ----------- - (-3) | < 0,0001  | --------------------- | < 0,0001 n + 1 n +1 5/(n+1) < 0,0001  5 < 0,0001.n + 0,0001  5 – 0’0001 < 0’0001n 4’9999 < 0,0001n  4’9999 /0’0001 < n  n > 49999  n=50000 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Sucesión creciente y decreciente Sucesión creciente es aquella en que el valor de los términos crece respecto a los términos anteriores. Se deberá cumplir an+1 – an ≥ 0 Sucesión decreciente es aquella en que el valor de los términos decrece respecto a los términos anteriores. Se deberá cumplir an+1 – an ≤ 0 Si una sucesión es creciente y está acotada superiormente, entonces es convergente. Si una sucesión es decreciente y está acotada inferiormente, entonces es convergente. Si no se produce alguno de los casos anteriores entonces es divergente. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 3n - 1 Sea la sucesión an = -------- 2n Hallar su límite. Ver si es creciente o decreciente. Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 1, a10 = 1’45, a100 = 1’495 Lím an = 1,5 noo Crecimiento 3(n+1) – 1 3n + 1 n(3n+2) – (n+1)(3n+1) an+1 - an = -------------- – ----------- = ------------------------------- = 2(n+1) 2n 2n(n+1) 3n2 +2n – (3n2 +4n+1) – 2n – 1 – = ------------------------------- = -------------- = ---- = –  Decreciente 2n(n+1) 2n(n+1) + @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 2 – n Sea la sucesión an = -------- n + 1 Hallar su límite. Ver si es creciente o decreciente. Hallamos el valor de algunos términos: a1 = 0,5 a10 = -0,7272 a100 = -0,9703 Lím an = - 1 noo Crecimiento 2 – (n+1) 2 – n (n+1)(1 – n) – (n+2)(2 – n) an+1 - an = -------------- – ----------- = ----------------------------------- = (n+1) + 1 n + 1 (n+2)(n+1) 1 – n2 – (4 – n2) – 3 – = ----------------------- = ---------------- = ---- = –  Decreciente (n+2)(n+1) (n+2)(n+1) + @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT LÍMITES DE SUCESIONES Tema 8.11 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de n elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(n) / nm Lím an = Lím -------------- noo noo D(n) / nm Donde m es el enponente de n entre numerador y denominador, N(n) y D(n) Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo] , [-oo / oo], [ oo / - oo] @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 2.n3 - 3n + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = --------------------- = [-----] noo n3 – n2 - 5 oo3 – oo2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre n elevada al mayor de los exponentes ( n3 ) 2 - (3/n2)+ (1/n3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = -------------------------- = ------------- = 2/1 = 2 noo 1 – (1/n) – (5/n3) 1 – (1/oo) – (5/oo) 1 – 0 - 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 2.n3 - 3n + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = ------------------------ = [-------] noo 5 - n2 5 - oo2 - oo Se divide numerador y denominador entre n elevada al mayor de los exponentes ( n3 ) 2 - (3 / n2) + (1 / n3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------- = -------------------------- = -------------- = noo (5 / n3 ) - (1 / n) (5/oo) - (1/oo) 0 – 0 = 2 / 0 = oo  Vemos que NO existe límite en el infinito. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT El número e Es transcendente, lo que significa que no es solución de ninguna ecuación algebraica. Se llama así en honor a Euler, su descubridor. Es el límite de la sucesión indicada abajo. Está relacionado su valor con los límites de todas las sucesiones que presentan la indeterminación [ 1oo] @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo inicial @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Ejemplos 1-2-3 (Siempre noo y sólo si [1oo]) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Ejemplos 4-5-6 (Siempre noo y sólo si [1oo]) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT