 Departamento de Matemática

 Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las variables que satisfacen simultáneamente dichas ecuaciones.  Estudiaremos sólo sistemas de ecuaciones con 2 incógnitas.

 Por determinantes  De sustitución  De igualación  De suma y resta o Reducción  Gráfico

 Para resolver un sistemas de ecuaciones por el método de sustitución se hace lo siguiente: 1) Se despeja cualquiera de las variables en cualquiera de las ecuaciones, generalmente la más sencilla. 2) Se sustituye la variable despejada en la otra ecuación. 3) Se resuelve la ecuación que se obtuvo para encontrar el valor de una variable.

4) Una vez encontrado ese valor se sustituye en la ecuación despejada y se encuentra el valor de la otra variable. 5) Se comprueba el resultado obtenido sustituyendo los valores en las ecuaciones originales. EJEMPLO: determinar x e y 5x + 4y = ecuación 1 x - y = ecuación 2

a)Despejamos la variable “x” (incógnita) de la ecuación 2 utilizando las propiedades de la igualdad. (Se puede despejar cualquier variable de cualquiera de las 2 ecuaciones). x – y = 6 x = 6 + y ecuación 3 5 (6 + y) + 4y = 84 b) Sustituimos la ecuación 3 en la ecuación 1

c) Resolvemos la ecuación resultante. Simplificamos Reducimos Despejamos  y = 6 5 (6 + y) + 4y = y + 4y = y = 84 9y = 84 – 30 9y = 54 y = 54 9

d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación 3.3. x = 6 + y x =  x = 12

e) Comprobamos ambas soluciones, sustituyendo los valores encontrados por las variables en las ecuaciones 1 y 2. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son los correctos. Ecuación 1Ecuación 2 5x + 4y = 84 5(12) + 4(6) = = x + y = = 6 6 6

Consiste en despejar una misma variable de las dos ecuaciones, igualar ambas para obtener una ecuación con una sola variable y resolverla. a) Escribimos las dos ecuaciones. 5x + 4y = ecuación 1 x - y = ecuación 2

x - y = 6 x = 6 + y ecuación 4 b) Despejamos la variable (incógnita) “x” en las 2 ecuaciones. 5x + 4y = 84 5x = 84 – 4y x = 84 – 4y ecuación 3 5 ecuación 1 ecuación 2

c) Se igualan las 2 expresiones. 84 – 4y = 6 + y 5 d) Resolvemos la ecuación. 84 – 4y = 6 + y 5 84 – 4y = 5(6 + y) 84 – 4y = y -4y – 5y = 30 – 84 -9y = -54 y =  y = 6 12

x = 6 + y x = e)Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones despejadas. Generalmente la más sencilla.  x =  x = 12 f) Al hacer la comprobación sustituyendo los valores de x e y en ambas ecuaciones se cumplirán las igualdades.

INICIO Observa los coeficientes de las variables. ¿Alguna variable tiene coeficientes simétricos? Suma las ecuaciones. Resuelve la ecuación que resulte para encontrar el valor de una variable. FIN ¿Alguna variable tiene coeficientes iguales? Resta las ecuaciones. Multiplica una o ambas ecuaciones por un número para obtener coeficientes simétricos en alguna de las variables. NO SÍ NO SÍ Sustituye la variable conocida por su valor en una de las ecuaciones originales y encuentra el valor de la otra variable. En este diagrama de flujo se explican los pasos a seguir para aplicar este método.

a) Analizamos las 2 ecuaciones para buscar qué variable es más fácil eliminar, por suma o por resta. Como en este caso la variable “y” tiene signos opuestos, multiplicamos la ecuación 2 por 4 para obtener un sistema equivalente al original en el que se pueda sumar ambas ecuaciones: 5x + 4y = 84 4x – 4y = 24 x – y = 6 /  4 4x – 4y = 24 ecuación 2 por 4 Entonces

b) Eliminamos “y” al sumar término a término de las 2 ecuaciones. 5x + 4y = 84 4x - 4y = 24 9x = 108 x =  x =12

c) Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales (generalmente la más sencilla) y resolvemos. x - y = y = 6 - y = y = - 6 /  -1 sustituimos en la ecuación 2 resolvemos  y = 6

** El método gráfico se utiliza generalmente para sistemas con soluciones enteras, por motivos de precisión. Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con 2 variables significa encontrar el punto (x, y) en el cual se intersectan (se cruzan) las 2 rectas. Ese punto (x, y) es la solución.

x - y = 6 -y = 6 – x -y = 6 – x /  -1 y = -6 + x a) Considerando las mismas ecuaciones anteriores: despejamos “y” en las 2 ecuaciones Ecuación 1 Ecuación 2 5x + 4y = 84 4y = 84 – 5x y = 84 – 5x 4

Ecuación 2 y = x b) Asignamos valores a la “x” en ambas ecuaciones y tabulamos. Se construye una tabla para cada ecuación. Ecuación 1 y = 84 – 5x 4

y = 84 – 5(16)/4 = 84 – 80/4 = 4/4 = 1 Ecuación 1 y = 84 – 5x 4 xy y = 84 – 5(6)/4 = 84 – 30/4 = 54/4 = 13.5 y = 84 – 5(8)/4 = 84 – 40/4 = 44/4 = 11 y = 84 – 5(10)/4 = 84 – 50/4 = 34/4 = 8.5 y = 84 – 5(12)/4 = 84 – 60/4 = 24/4 = 6 y = 84 – 5(14)/4 = 84 – 70/4 = 14/4 = 3.5

Ecuación 2 y = x xy y = = 10 y = = 0 y = = 2 y = = 4 y = = 6 y = = 8

Intersección Punto (12, 6) d) Situamos las parejas de cada ecuación en el mismo plano cartesiano Ecuación 1 Ecuación y x

Sistemas de ecuaciones lineales Incompatible Compatible Sin solución Con solución Determinado Indeterminado Solución única Infinitas soluciones