Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 8 * 3º ESO E.Ap. SUCESIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO U.D. 8.5 * 3º ESO E.Ap. SUMA DE TÉRMINOS EN P.G. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Suma de términos en P.G. Demostramos la fórmula de la suma: S = a + a + a + a + ... + a + .... + a + a 1 2 3 4 k n‑1 n Si multiplico todo por la razón r, queda : S.r = a .r + a . r + a . r + ... + a .r + a .r 1 2 3 n‑1 n Restando una de otra expresión : S ‑ S.r = a ‑ a . r 1 n a1 - an S.(1 ‑ r ) = a ‑ a . r  S = ------------ 1 n 1 - r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO FÓRMULA ALTERNATIVA La fórmula anterior en muchas ocasiones hay que combinarla con la fórmula principal, quedando una nueva fórmula de la suma: n a . ( 1 – r ) 1 S = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑ 1 – r EN CASO DE P.G. INFINITAS Y RAZÓN MENOR QUE 1 Al ser r<1, la potencia roo  0 Quedando la fórmula de la suma así: a . ( 1 – 0) a 1 1 S = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--‑ = ------------- 1 – r 1 – r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_1 Hallar la suma de las 12 primeras potencias de 3. La P.G. sería: an = 3, 9, 27, … Donde a1 = 3 , r = 3 y n = 12 Como an = a1 . rn – 1 Hallamos a12 = 3 . 312 – 1 = 312 Y aplicando la suma: S = (a1 - an r ) / (1- r.) = (3 – 312.3) / (1 – 3) = 797 160 Ejemplo_2 Hallar la suma de los 100 primeros términos de la siguiente progresión: an = 4, 2, 1, … Es una PG, donde a1 = 4 , r = ½ y n = 100 Hallamos a100 = 4 . (1/2) 100 – 1 = 4.0,599 = 4.1,5777.10 – 30 = 6,31.10 – 30 S = (a1 - an r ) / (1- r.) = (4 – 6,31.10 – 30 .0,5) / (1 – 0,5) = 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_3 Hallar la suma de las áreas de los infinitos cuadrados inscritos en uno de 8 cm de lado. El área del mayor será: A=l2 = 64 cm2 Como se puede apreciar en el dibujo, cada una de las áreas de los demás cuadrados es mitad del anterior. Las áreas forman la sucesión: 64, 32, 16, 8, 4, 2, … Que es una PG de razón r=1/2 , menor que la unidad. S = a1 / (1 – r) S = 64 / (1 – 0,5) = 64 / 0,5 = 128 cm2 Ejemplo_4 Hallar el valor de: 1 – ¼ + 1/16 – 1/64 + 1/256 – … @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_5 Hallar la suma de las áreas de los infinitos triángulos equiláteros inscritos en uno de 4 cm de lado. La altura de un triángulo equilátero es: h = l.√3 / 2 En el triángulo grande: h = 4. √3 / 2 = 2. √3 El área será: A=b.h/2 = 4. 2. √3 / 2 = 4. √3 En el siguiente triángulo, de lado 2: h = 2. √3 / 2 = √3 El área será: A=b.h/2 = 2. √3 / 2 = √3 En el siguiente triángulo, de lado 1: h = 1. √3 / 2 = √3 / 2 El área será: A=b.h/2 = 1. (√3 / 2) / 2 = √3 / 4 Las áreas forman la sucesión: 4.√3 , √3 , √3 / 4 , … Que es una PG de razón r=1/4 , menor que la unidad. S = a1 / (1 – r) = 4.√3 / (1 – 0,25) = 16.√3 / 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Problema_1 En un tablero de ajedrez se pone 1 € en la primera casilla, 2 € en la segunda, 4 € en la tercera y así sucesivamente hasta la 64ª casilla. Hallar la suma de todos los euros colocados. La P.G. sería: an = 1, 2, 4, 8, 16, … Donde a1 = 1 , r = 2 y n = 64 64-1 63 Hallamos a64 = a1 . 2 = 2 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: 63 64 19 S = (1 - 2 . 2) / ( 1 – 2 ) = 2 - 1 = 1,8 . 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Problema_2 En una población un vecino se entera de una noticia importante y en una hora se la comunica a cuatro vecinos, cada uno de los cuales, también en una hora, la transmite a su vez a otros cuatro, y así sucesivamente. ¿Cuántos vecinos conocerán la noticia al cabo de 12 horas?. La sucesión de vecinos informados hora a hora sería: an = 1, 4, 16, … Está claro que es una P.G. donde a1 = 1 , r = 4 y n = 12 12-1 11 Hallamos a12 = a1 . 4 = 4 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: 11 12 S = (1 - 4 . 4) / ( 1 – 4 ) = ( 4 - 1 ) / 3 = 5.592.405 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO