{sin(klx), cos(klx)} oinarria: Fourier-en serieak (a,b) tarteko karratu-batugarria duten funtzioen Hilbert-en bektore- espazioaren oinarri ortogonal bat bilatuko dugu hurrengo funtzioetatik abiatuz: non l indizeak balore arruntak har ditzakeen eta k zehaztu behar den funtzioen ortogonaltasuna baieztatu dadin:

Aurreko ortogonaltasun-baldintzak bete daitezen: Egiaztatu behar dena hauxe da:

Hortaz hurrengo funtzioek osatzen dute oinarri ortogonal bat: eta beraien normak hurrengo hauek dira:

Beraz, (a,b) tarteko karratu-integragarridun funtzioa, f(x), oinarri ortogonal honetan adieraz daiteke. Adierazpen edo garapen honi f(x) funtzioaren “Fourier-en seriea” deitzen zaio: (a,b) tartearen barnean f(x) eta beraren Fourier-en seriearen garapena elkarren berdinak dira, baina (a,b) tartetik kanpo seriearen garapenak badu periodizitate-propietatea, oinarri ortogonalaren funtzioak periodikoak direlako; aitzitik f(x) ez du zertan periodikoa izan behar eta, orokorrean, (a,b) tartetik at, f(x) eta seriearen garapenak desberdinak izango dira.

Kalkulatu hurrengo funtzioaren (Heaviside-ren funtzioaren, alegia) Fourier-en seriea (-1,1) tartean: Hurrengo seriearen al eta bl kalkulatu behar ditugu: Tartea (-1,1) denez:

{exp(iklx)} oinarria: Euler-en formula kontutan hartuz: sinuen eta cosinuen oinarri ortogonalaren elementuak esponentzial konplexuen funtzioez idatz daitezke:

Hori ez ezik, egiaztatu daitekeen bezala, esponentzial konplexu hauek betetzen dute ortogonaltasunaren baldintza: Beraz, benetan:

Bestaldetik, esponentzial konplexu baten eta bere buruaren arteko biderkaketa, hau da, bere normaren karratua hurrengo hau da: Beraz, esponentzial konplexuen multzo hau {exp(iknx)}, non k=2p/(b-a) den eta n zenbaki osoa den, da (a,b) tarteko karratu batugarrien funtzioen Hilbert-en espazio bektorialaren oinarri ortogonal bat da :

Ondorioz,(a,b) tartean karratu bateragarria duen funtzio bat, f(x), oinarri ortogonal honekiko garatu daiteke : Kontutan hartu behar da, oraingo honetan, garapenaren eskalareak, hau da, al eskalareak, orokorrean zenbaki konplexuak izango direla. (a,b) tartearen barnean f(x) eta beraren garapena esponentzialen bidez elkarren berdinak dira, baina (a,b) tartetik kanpo seriearen garapenak badu periodizitate-propietatea, oinarri ortogonalaren funtzioak periodikoak direlako; aitzitik f(x) ez du zertan periodikoa izan behar eta, orokorrean, (a,b) tartetik at, f(x) eta seriearen garapenak desberdinak izango dira.

f(x) funtzio bati dagozkion garapenaren al eskalareak kalkulatu nahi baditugu, hurrengo erara egin dezakegu ortogonaltasuna baliatuz :

f(x) funtzioa erreala bada ondorengo hau egiaztatzen da:

Beraz, f(x) funtzioa erreala baldin bada: bestaldetik, funtzio ororako: Ondorioz, f(x) funtzioa erreala bada, hurrengo hau betetzen da:

Aurrekoaz baliatuz, ikus dezagun nola aurki dezakegun esponentzial konplexuen oinarri ortogonalaren eta Fourier-en seriearen (hau da, sinuen eta kosinuen oinarri ortogonalaren) koefizienteen arteko erlazioa funtzio erreal baterako: f(x) funtzioa erreala bada:

al koefizienteak hurrengo erara idazten baditugu: f(x) funtzio errealaren Fourier-en seriearekin alderatuz:

hurrengo erlazioak erdiesten dira: edo baliokideak direnak:

l ≠ 0

-1/p (sin(2px))

-1/p (sin(2px)+sin(4px)/2)

-1/p (sin(2px)+sin(4px)/2+sin(6px)/3)

-1/p (sin(2px)+sin(4px)/2+sin(6px)/3+sin(8px)/4)

-1/p (sin(2px)+sin(4px)/2+sin(6px)/3+sin(8px)/4+sin(10px)/5 )

-1/p (sin(2px)+sin(4px)/2+sin(6px)/3+sin(8px)/4+sin(10px)/5

-1/p (sin(2px)+sin(4px)/2+sin(6px)/3+sin(8px)/4+sin(10px)/5

-1/p (sin(2px)+sin(4px)/2+sin(6px)/3+sin(8px)/4+sin(10px)/5

-1/p (sin(2px)+sin(4px)/2+sin(6px)/3+sin(8px)/4+sin(10px)/5

-1/p (sin(2px)+sin(4px)/2+sin(6px)/3+sin(8px)/4+sin(10px)/5

Kalkulatu (-1,1) tartean hurrengo funtzioen Fourier-en serieak:

Kalkulatu Heaviside-ren funtzioaren Fourier-en seriea:

Kalkulatu Heaviside-ren funtzioaren Fourier-seriea: j bakoitia -ip0x

j bakoitia j bakoitia j bakoitia j bakoitia Kalkulatu Heaviside-ren funtzioaren Fourier-seriea: j bakoitia j bakoitia j bakoitia j bakoitia

l ≠ 0

Kalkulatu d(x)-en Fourier-en seriea:

Kalkulatu D(x)-en Fourier-en seriea: