Unidad 4 Anexo 2. Capítulo IV Unidad 4 Anexo 2. Capítulo IV. La ecuación equidimensional de Euler no homogénea.

Finalmente, una ecuación de Euler de la forma: U-4.A-2. Cap. IV. Ecuación de Euler. Ecuación de Euler no homogénea: La solución homogénea se obtiene como se describe anteriormente, y la solución particular se obtiene usando el método de variación de parámetros. El método de coeficientes indeterminados no es aplicable en este caso, a menos que toda la ecuación se transforme en una de coeficientes constantes, vía la función x = et. Finalmente, una ecuación de Euler de la forma: se puede resolverse del mismo modo tomando y = (x – x0)r en lugar de y = xr.

U-4.A-2. Cap. IV. Ecuación de Euler. Bajo esta consideración, el teorema se puede utilizar para la solución homogénea reemplazando x por x – x0. De manera alternativa, se puede plantear el cambio de variable t = x  x0, lo cual transforma esta ecuación a la forma estándar de la ecuación de Euler. De otra manera, la transformación x  x0 = et reduce la ecuación planteada a una ecuación lineal con coeficientes constantes, que puede resolverse en la forma establecida. El método alterno de solución de una ecuación de Euler, la forma xr, se ilustra con el siguiente ejemplo.

ya que x ≠ 0, x r no puede ser cero. U-4.A-2. Cap. IV. Ecuación de Euler. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación diferencial: para x > 0, haciendo y = xr. Solución: Esta ecuación se ha resuelto previamente a través de su transformación a una de coeficientes constantes. Sustituyendo y = x r, y’ = r x r1, y’’ = r (r  1) x r2 en la ecuación dada se obtiene: o ya que x ≠ 0, x r no puede ser cero.

Entonces, la solución general de esta ecuación de Euler es: U-4.A-2. Cap. IV. Ecuación de Euler. Observe que la ecuación anterior se puede expresar como (r + 1)(r  4) = 0, cuyas raíces son r1 = 1 y r2 = 4, que son reales y distintas. Entonces, la solución general de esta ecuación de Euler es: idéntica a la que se obtuvo transformando la ecuación de Euler a una de coeficientes constantes.

ya que x ≠ 0, x r no puede ser cero. U-4.A-2. Cap. IV. Ecuación de Euler. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación diferencial: para x > 0, haciendo y = xr. Solución: Esta ecuación es una ecuación de Euler, ya que cada término del lado izquierdo de la ecuación es k xny(n) para n = 0, 1 y 2. Sustituyendo y = x r, y’ = r x r1, y’’ = r (r  1) x r2 en la ecuación dada se obtiene: o ya que x ≠ 0, x r no puede ser cero.

Por lo tanto, la solución general de esta ecuación de Euler es: U-4.A-2. Cap. IV. Ecuación de Euler. Observe que la ecuación anterior se puede expresar como (r + 1)2 = 0, cuyas raíces son r1 = r2 = 1, que son reales e iguales. Por lo tanto, la solución general de esta ecuación de Euler es:

Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación diferencial: U-4.A-2. Cap. IV. Ecuación de Euler. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación diferencial: para x > 0. Solución: Ecuación de Euler no homogénea. La solución de la parte homogénea se obtuvo en un ejemplo previo y tiene la forma: Como el término no homogéneo es un polinomio, se puede pensar en la aplicación de coeficientes indeterminados para obtener la solución de la parte no homogénea.

Primero, divida la ecuación entre x2 para obtener: U-4.A-2. Cap. IV. Ecuación de Euler. Sin embargo, no hay garantía de que esto funcione, porque la ecuación diferencial tiene coeficientes variables y no está en la forma estándar. Por tanto, se usa el método de variación de parámetros para determinar la solución particular. Primero, divida la ecuación entre x2 para obtener: entonces: en donde:

U-4.A-2. Cap. IV. Ecuación de Euler.

U-4.A-2. Cap. IV. Ecuación de Euler. tal que: Finalmente, la solución general de la ecuación diferencial se obtiene combinando la solución homogénea con esta solución particular: